0.999.../德德金分割證明相等

假設

• 從德德金分割構造實數
• 德德金分割定義

證明

在德德金分割方法中，實數 1 是所有小於 1 的有理數的集合。

$1=\left\{r|r\in {\textbf {Q}}\land r<{\tfrac {1}{1}}\right\}$

同時，實數 0.999... 是有理數 *r* 的集合，其中 *r* < 0，或者 *r* < 0.9，或者 *r* < 0.99，或者 *r* 小於其他形式的數字

$1-{\tfrac {1}{10^{n}}}$

完整地

$0.999...=\left\{r|r\in {\textbf {Q}}\land \exists n\in {\textbf {N}}:r<1-{\tfrac {1}{10^{n}}}\right\}$

然後，證明這兩個德德金分割相等的證明依賴於證明這兩個集合條件是等價的。

可以證明任何小於 0.999... 的有理數也小於 1，因為任何非負數 *n* 都將給出 1-(1/10)^*n* 的值，它小於 1。

剩下要證明的是，如果一個有理數小於 1，那麼它總是在 0.999... 中，即

$r<1\rightarrow \exists n\in {\textbf {N}}:r<1-{\tfrac {1}{10^{n}}}$

對於 Q 中的任何 *r*

用自然分數 *a/b* 替換 *r*

${\tfrac {a}{b}}<1\rightarrow \exists n\in {\textbf {N}}:{\tfrac {a}{b}}<1-{\tfrac {1}{10^{n}}}$

讓量化中的 *n* 等於分母 *b*，則得到

${\tfrac {a}{b}}<1-{\tfrac {1}{10^{b}}}$

用 10^ *b* 交叉相乘得到

$a\times 10^{b}<b\times 10^{b}-b$

由於我們知道 *a* 小於 *b*，並且 10 是正數，所以這總是成立的。

因此，這兩個集合是等價的，並且 0.999... = 1。