A-level 數學/CIE/純數學 1/積分

反導數

積分被定義為微分的逆過程。因此，它是找到表示式**反導數**的過程。

反導數也稱為表示式的**積分**，並用符號 $\int$ 表示。

例如， $\int 2x\ dx=x^{2}$

積分常數

積分的一個問題是，許多不同的表示式具有相同的導數，例如 ${\dfrac {d}{dx}}(x^{2}+3)=2x$ 和 ${\dfrac {d}{dx}}(x^{2}-5)=2x$ 。具有不同常數項的表示式可能具有相同的導數，因此當我們對錶達式進行積分時，我們需要在末尾新增一個任意常數 $+c$ ，它代表這個未知值。

因此， $\int 2x\ dx=x^{2}+c$

在某些情況下，我們有一個曲線上的點以及它的導數表示式。由此，我們需要找到曲線的方程，這將要求我們透過代入該點的值來找到積分常數。

例如，點 $(3,2)$ 位於一條斜率為 ${\dfrac {dy}{dx}}=x^{2}$ 的曲線上。求出曲線的方程。

${\begin{aligned}&y=\int x^{2}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}+c\\(3,2)\implies &2={\frac {3^{3}}{3}}+c\\&2=9+c\\&c=-7\\&y={\frac {x^{3}}{3}}-7\end{aligned}}$

定積分

**定積分**是在兩個給定邊界 $a$ 和 $b$ 之間的積分。這些邊界寫為 $\int _{a}^{b}$ .

對於一個函式 $f(x)$ ，其積分 $F(x)$ ，定積分 $\int _{a}^{b}f(x)\ dx=F(b)-F(a)$

例如，求 $\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\ dx$

${\begin{aligned}\int {\sqrt {x}}\ dx&=\int x^{\tfrac {1}{2}}\ dx\\&={\frac {x^{\tfrac {3}{2}}}{\tfrac {3}{2}}}+c\\&={\frac {2}{3}}x^{\tfrac {3}{2}}+c\\\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\ dx&=\left[{\frac {2}{3}}x^{\tfrac {3}{2}}+c\right]_{0}^{1}\\&={\frac {2}{3}}1^{\tfrac {3}{2}}+c-({\frac {2}{3}}0^{\tfrac {3}{2}}+c)\\&={\frac {2}{3}}+c-0-c={\frac {2}{3}}\end{aligned}}$

注意，對於定積分，任意常數項會抵消。這意味著我們在處理定積分時不需要實際寫出這些常數項。

廣義積分

廣義積分是指其中一個積分限無效的定積分。

例如， $\int _{-1}^{1}x^{-2}\ dx$ 在 $x=0$ 處無效。

為了計算廣義積分，我們需要找到積分限趨近於我們所求值的極限。

${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}x^{-2}\ dx&=\lim _{a\rightarrow 1}\int _{-1}^{a}x^{-2}\ dx\\&=\lim _{a\rightarrow 1}\left[-{\frac {x^{-3}}{3}}\right]_{-1}^{a}\\&=\lim _{a\rightarrow 1}-{\frac {a^{-3}}{3}}-(-{\frac {-1^{-3}}{3}})\\&=\lim _{a\rightarrow 1}-{\frac {a^{-3}}{3}}+{\frac {-1}{3}}\\&=-{\frac {1^{-3}}{3}}+{\frac {-1}{3}}\\&=-{\frac {1}{3}}+{\frac {-1}{3}}\\&=-{\frac {2}{3}}\end{aligned}}$

曲線下的面積

定積分可以用來求曲線下的面積。

例如，求由 $y=x^{2}+2$ 、x 軸、直線 $x=3$ 和直線 $x=6$ 所包圍的面積。

${\begin{aligned}A&=\int _{3}^{6}x^{2}+2\ dx\\&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}+2x\right]_{3}^{6}\\&={\frac {6^{3}}{3}}+2(6)-({\frac {3^{3}}{3}}+2(3))\\&={\frac {216}{3}}+12-{\frac {27}{3}}-6\\&=72+12-9-6\\&=69\end{aligned}}$

旋轉體

旋轉體是透過在兩個邊界之間繞某個軸旋轉曲線得到的體積。

體積可以被計算為一系列微小圓柱體的總和。如果我們繞 x 軸旋轉，這個總和等於 $\sum _{x=a}^{b}\pi (f(x))^{2}\delta x$ ，其中 $\delta x$ 是每個圓柱的寬度。當 $\delta x$ 趨近於零時，這個總和變為 $\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}dx$ .

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