A-level 數學/CIE/純數學 1/微分

曲線上的點的斜率

曲線上的一個點的斜率等於該點切線的斜率。由於直接測量切線的斜率很困難，我們使用割線來近似它。割線是在曲線上的兩個點之間的一條線。

導數的正式定義

假設我們想要找到座標為 $(x,y)$ 的點的斜率。我們可以使用經過 $(x,y)$ 和 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 的割線來近似它，其中 $\Delta x$ 是 $x$ 的一個微小變化，而 $\Delta y$ 是由此產生的 $y$ 的微小變化。

割線的斜率為 ${\frac {rise}{run}}={\frac {y+\Delta y-y}{x+\Delta x-x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 。當 $\Delta x$ 越來越小時， ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 接近點 $(x,y)$ 的斜率。

當 $\Delta x$ 趨近於零時， ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 的極限是我們所要找的值：點 $(x,y)$ 的梯度。對於任意點 $(x,y)$ ，梯度可以用導數表示。

函式 $f$ 的導數 $f'$ 是一個函式，它提供了 $f$ 所產生的曲線在點 $(x,f(x))$ 的梯度。導數的正式定義為 $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

符號

表示函式導數主要有兩種方式： $f'(x)$ 和 ${\dfrac {df}{dx}}$ 。它們都表示相同的意思： $f$ 關於 $x$ 的導數。

簡單規則

以下是一些簡單的規則，可以使複雜表示式的求導更容易。

冪律

${\dfrac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

例如， ${\dfrac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}$

求和法則

${\dfrac {d}{dx}}{\big (}f(x)+g(x){\big )}=f'(x)+g'(x)$

例如， ${\dfrac {d}{dx}}(x^{2}+x^{4})=2x+4x^{3}$

常數法則

${\dfrac {d}{dx}}{\big (}kf(x){\big )}=kf'(x)$

例如， ${\dfrac {d}{dx}}(4x^{2})=4(2x)=8x$

鏈式法則

${\dfrac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))\times g'(x)$

例如， ${\dfrac {d}{dx}}(2x+1)^{3}=3(2x+1)^{2}\times 2=6(2x+1)^{2}$

切線和法線

切線是一條經過給定點的直線，它的斜率等於曲線在該點的斜率。法線是一條經過給定點的直線，它垂直於曲線在該點的切線。

要找到曲線在特定點處的切線或法線的方程，我們可以使用我們在座標幾何中使用的直線方程。

例如，求曲線 $x^{3}-5x^{2}+2x+6$ 在點 $(2,-2)$ 處的切線和法線的方程。

${\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}(x^{3}-5x^{2}+2x+6)&=3x^{2}-10x+2\\{\text{Gradient at }}(2,-2)=3(2)^{2}-10(2)+2&=12-20+2=-6\\{\text{Tangent: }}{\frac {y+2}{x-2}}=-6\implies y+2&=-6x+12\implies y=10-6x\\{\text{Normal: }}{\frac {y+2}{x-2}}={\frac {-1}{-6}}\implies y+2&={\frac {x-2}{6}}\implies y={\frac {x}{6}}-{\frac {7}{3}}\end{aligned}}$