A-level 數學/CIE/純數學 1/級數

二項式定理

在我們討論二項式定理之前，我們需要討論組合。為了討論組合，我們需要討論階乘。

階乘

一個數的階乘是所有從1到該數的所有數的乘積。它用符號 $!$ 表示在該數之後。

例如 $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

階乘可以正式定義為

$n!={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=0\\n\times (n-1)!,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

組合

組合是一種計算從一個較大的集合中選出一個給定大小的元素集合的方法。它通常用列表示法 ${\binom {n}{k}}$ 或符號 $nCk$ 表示。

組合可以用階乘計算： ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},n\geq k$ .

例如 ${\binom {5}{3}}={\frac {5!}{3!2!}}={\frac {120}{6(2)}}={\frac {120}{12}}=10$

二項式定理

二項式定理用於我們需要將一個二項式（由兩項組成的表示式）提高到給定 $n$ 次方時，例如 $(x+2)^{3}$ .

二項式定理指出 $(a+b)^{n}={\binom {n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}b^{n}$

例如

${\begin{aligned}(x+2)^{3}&={\binom {3}{0}}x^{3}+{\binom {3}{1}}x^{2}(2)+{\binom {3}{2}}x(2^{2})+{\binom {3}{3}}(2^{3})\\&=(1)x^{3}+(3)(2)x^{2}+(3)(4)x+(1)(8)\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8\end{aligned}}$

二項式定理有時可以總結為 $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$

等差數列

等差數列是一個序列，其中數字從一個項到下一個項以一個固定的數量遞增。

例如 $6,8,10,12,14,\dots$ 是一個等差數列（固定數量是 $2$ )

第 n 項

等差數列的第 n 項可以使用 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ 來確定，其中 $a_{n}$ 是第 n 項， $a_{1}$ 是第一項， $d$ 是級數中兩個連續項之間的差。

例如，序列 $4,7,10,13,\dots$ 的公差為 $7-4=3$ 。因此，此序列的第 n 項可以用 $a_{n}=4+3(n-1)=4+3n-3=1+3n$ 表示。因此，如果要找到這個等差數列的第 1000 項，我們可以用第 n 項公式： $a_{1000}=1+3(1000)=3001$ 。