A-level 數學/CIE/純數學 1/三角函式

三角函式

正弦

一個角的正弦定義為對邊與斜邊的比率。對於給定的角，這個比率總是相同的，即使三角形被放大或縮小。

$\sin(\theta )={\frac {opposite}{hypotenuse}}$

餘弦

一個角的餘弦定義為鄰邊與斜邊的比率。

$\cos(\theta )={\frac {adjacent}{hypotenuse}}$

正切

一個角的正切定義為對邊與鄰邊的比率。

$\tan(\theta )={\frac {opposite}{adjacent}}$

單位圓

單位圓是一個半徑為 1 的圓。它可以用來提供另一種看待三角函式的方式。

在單位圓中，可以畫一個直角三角形，以半徑為斜邊。因此，斜邊為 1，正弦和餘弦函式指的是單位圓上一個點的座標。

三角函式影像

正弦影像從 $(0,0)$ 開始，然後以週期為 $2\pi$ 和振幅為 $1$ 振盪。

餘弦影像類似於正弦影像，以週期為 $2\pi$ 和振幅為 $1$ 振盪，但是它從 $(1,0)$ 開始。

正切函式從 $(0,0)$ 開始，在接近 $x={\frac {\pi }{2}}$ 時趨於無窮大，在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 之後從負無窮大出現，然後在 $(\pi ,0)$ 重複這個過程。正切函式的週期為 $\pi$ 。

精確值

瞭解以下三角函式的精確值非常有用

精確值
x/°	x/rad	sin x	cos x	tan x
0	0	0	1	0
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3
45	π/4	1/√2	1/√2	1
60	π/3	√3/2	1/2	√3
90	π/2	1	0	undefined

反三角函式

關於符號的說明

一些資料可能使用 $\arcsin$ ， $\arccos$ 和 $\arctan$ 來表示反三角函式，但這種符號不被劍橋國際認可。

反三角函式是指反轉三角函式的函式，就像任何其他反函式一樣。反三角函式有： $\sin ^{-1}$ ，它是 $\sin$ 的反函式； $\cos ^{-1}$ ，它是 $\cos$ 的反函式；還有 $\tan ^{-1}$ ，它是 $\tan$ 的反函式。

三角恆等式

恆等式是指始終為真的語句，例如 $a+b\equiv b+a$ 。因此，三角恆等式是指始終為真的三角語句。

瞭解以下恆等式很有幫助

$\sin(x)\equiv \cos({\frac {\pi }{2}}-x)$
$\cos(x)\equiv \sin({\frac {\pi }{2}}-x)$
${\frac {\sin(x)}{\cos {x}}}\equiv \tan(x)$
$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\equiv 1$

這些恆等式可以用來證明其他恆等式。

例如，證明 ${\frac {\sin(x)\cos ^{2}(x)}{\cos(x)}}\equiv \tan(x)-\sin ^{2}(x)\tan(x)$

${\begin{aligned}{\frac {\sin(x)\cos ^{2}(x)}{\cos(x)}}&\equiv {\frac {\sin(x)(1-\sin ^{2}(x))}{\cos(x)}}\\&\equiv \tan(x)(1-\sin ^{2}(x))\\&\equiv \tan(x)-\sin ^{2}(x)\tan(x)\end{aligned}}$

解三角方程

在解三角方程時，務必牢記所求解的區間。

例如，解方程 ${\sqrt {3}}\tan 2x-1=0$ ，其中 $-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}$ .

${\begin{aligned}{\sqrt {3}}\tan 2x-1&=0\\{\sqrt {3}}\tan 2x&=1\\\tan 2x&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\&{\text{區間為 }}-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}{\text{ 所以}}-\pi <2x<\pi \\2x&=\{-{\frac {5\pi }{6}},{\frac {\pi }{6}}\}\leftarrow {\text{我們需要包含區間內所有可能的值}}\\x&=\{-{\frac {5\pi }{12}},{\frac {\pi }{12}}\}\end{aligned}}$

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