A-level 數學/CIE/純數學 1/圓形測量

弧度

弧度是用來測量角度的單位。它定義為圓心角所對的弧長等於半徑的角。因此，一個完整的圓周包含 $2\pi$ 弧度，因為圓周長是半徑的 $2\pi$ 倍。

度數是另一種常用的角度測量單位。一個圓周包含 $360^{o}$ ，因此 $360^{o}=2\pi {\text{rad}}$ .

要將度數轉換為弧度，將度數乘以 ${\frac {\pi }{180}}$ .

例如， $30^{o}$ 等於 $30\times {\frac {\pi }{180}}={\frac {\pi }{6}}$

要將弧度轉換為度數，將弧度乘以 ${\frac {180}{\pi }}$ .

例如， ${\frac {\pi }{3}}$ 弧度等於 ${\frac {\pi }{3}}\times {\frac {180}{\pi }}={\frac {180}{3}}=60^{o}$

弧長是圓弧的長度。弧長取決於半徑的大小和圓心角的大小。

我們可以將弧長視為圓周 $2\pi r$ 的一部分。這意味著弧長等於圓心角佔整個圓周的比例乘以圓周長： $s={\frac {\theta }{2\pi }}(2\pi r)$ ，可以簡化為 $s=r\theta$ .

例如，半徑為 $2$ ，角度為 $2{\text{rad}}$ 的弧長為 $2(2)=4$ 。

扇形的面積可以用類似的方法推導：它是圓面積的一部分。圓的面積是 $\pi r^{2}$ ，所以扇形的面積是 ${\frac {\theta }{2\pi }}\pi r^{2}={\frac {r^{2}\theta }{2}}$ 。