A-level 數學/CIE/純數學 1/座標幾何

直線方程

涉及直線的計算

兩點之間的距離

兩點之間的距離由公式 $Dist={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}$ 給出，其中 $\Delta x$ 是兩點之間x 值的差，而 $\Delta y$ 是兩點之間y 值的差。

該公式也可以看作是將勾股定理應用於點，其中 x 值和 y 值的差構成直角三角形的兩條邊。

兩點的中點

中點是正好位於兩點之間的點。中點的座標由 $({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}})$ 給出，其中 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 是兩點的座標。

例如， $(2,-1)$ 和 $(4,3)$ 之間的中點是 $(3,1)$

您可能會注意到，此表示式表明中點的 x 座標是兩點 x 座標的平均值，其 y 座標是兩點 y 座標的平均值。從本質上講，這意味著中點是兩點的平均值。

斜率

一條直線的斜率 $m$ 由比率 $m={\frac {rise}{run}}$ 確定，其中 $rise$ 是 y 值的變化量，而 $run$ 是 x 值的變化量。

當尋找兩點之間直線的斜率時，這也可以表示為 $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 。

例如：經過 $(2,4)$ 和 $(3,6)$ 的直線的斜率為 ${\frac {6-4}{3-2}}={\frac {2}{1}}=2$ 。

相交直線

當兩條直線相交時，交點是兩條直線交叉的地方。交點因此在這兩條直線上，這意味著它可以使用聯立方程找到。

例如：直線 $y=2x+3$ 和 $y=-x$ 相交。求出交點。

${\begin{aligned}y&=2x+3\\y&=-x\\-x&=2x+3\\-3x&=3\\x&=-1\\y&=-(-1)=1\\\therefore {\text{The}}&{\text{ point of intersection is at }}(-1,1)\end{aligned}}$

平行直線

平行直線始終具有相同的斜率，並且不會相交。

例如：直線 $y=3x+1$ 和 $y=3x-2$ 是平行的。

有時我們需要找到一條與給定直線平行且經過給定點的直線。

例如，求一條平行於 $y=2x+3$ 且經過點 $(5,6)$ 的直線的方程。

${\begin{aligned}Parallel\implies &y=2x+c\\(5,6)\implies &6=2(5)+c\\&6=10+c\\&c=-4\\\therefore \quad &y=2x-4\end{aligned}}$

垂直直線

垂直直線相互垂直。兩條垂直直線的斜率之積始終為-1。

例如，直線 $y=x$ 和 $y=-x$ 垂直。

有時我們需要找到一條經過特定點的垂直直線。

例如，求一條垂直於 $y=-{\frac {x}{2}}+3$ 且經過原點的直線的方程。

${\begin{aligned}Perpendicular\implies &y={\frac {-1}{-1/2}}x+c\\&y=2x+c\\Through\ origin\implies &0=2(0)+c\\&c=0\\\therefore \quad &y=2x\end{aligned}}$

直線方程的不同形式

直線方程主要有三種寫法

$y=mx+c$
${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}=m$
$ax+by+c=0$

根據點和斜率求直線方程

可以使用點和斜率，透過第二個公式 ${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}=m$ 來找到直線的方程，然後將方程改寫成 $y=mx+c$ 的形式。

例如，一條斜率為 $2$ 的直線經過點 $(2,3)$ 。求其方程。

${\begin{aligned}{\frac {y-3}{x-2}}&=2\\y-3&=2(x-2)\\y&=2x-4+3\\y&=2x-1\end{aligned}}$

從兩點求直線的方程

給出兩點後，我們可以使用 $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 求出斜率。使用該斜率，可以使用與點和斜率相同的方法。

例如，一條直線經過點 $(2,-3)$ 和 $(1,1)$ 。求這條直線的方程。

${\begin{aligned}m={\frac {1+3}{1-2}}&={\frac {4}{-1}}=4\\{\frac {y+3}{x-2}}&=4\\y+3&=4(x-2)\\y+3&=4x-8\\y&=4x-11\end{aligned}}$

圓的方程

圓由所有距離其圓心一定距離的點組成。可以使用勾股定理 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 定義兩點之間的距離。因此，以原點為中心的圓的方程由 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 給出，其中 $r$ 是圓的半徑。

例如，以原點為圓心，半徑為 $5$ 的圓的方程為 $x^{2}+y^{2}=25$ 。

如果圓心不在原點，我們可以將這個方程平移到另一個點。因此，方程變為 $(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}$ ，其中 $(x_{c},y_{c})$ 是圓心的座標。

例如，以 $(1,2)$ 為圓心，半徑為 ${\sqrt {5}}$ 的圓的方程為 $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5$ 。

直線與圓的交點

當給定一條直線和一個圓相交的問題時，使用聯立方程的代入法來求解是有用的。

例如，直線 $y=1-x$ 與圓 $x^{2}+y^{2}=1$ 相交。求這些交點的座標。

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1\\y&=1-x\\x^{2}+(1-x)^{2}&=1\\x^{2}+1-2x+x^{2}&=1\\2x^{2}-2x&=0\\2x(x-1)&=0\\x&=\{0,1\}\\y&=\{1,0\}\\\therefore &\ {\text{Intersections are at (0,1) and (1,0)}}\end{aligned}}$

直線與二次函式的交點

當一個二次函式和一條直線相交時，我們也可以使用代入法來求出交點。

例如，直線 $y=3x-8$ 與二次函式 $y=x^{2}-2x-2$ 相交。求出交點。

${\begin{aligned}y&=x^{2}-2x-2\\y&=3x-8\\3x-8&=x^{2}-2x-2\\x^{2}-5x+6&=0\\(x-2)(x-3)&=0\\x&=\{2,3\}\\y&=\{-2,1\}\\\therefore {\text{The points of }}&{\text{intersection are at }}(2,-2){\text{ and }}(3,1)\end{aligned}}$

在某些情況下，我們需要找到一個常數來確保只有一個交點。在這種情況下，我們應該使用判別式。

例如，求 $k$ 的值，使得直線 $y=x+k$ 與 $y=x^{2}-3x-2$ 相切。

${\begin{aligned}Tangent\implies one\ &root\implies \Delta =0\\y&=x^{2}-3x-2\\y&=x+k\\x+k&=x^{2}-3x-2\\x^{2}-4x-2-k&=0\\\Delta =(-4)^{2}-4(1)(-2-k)&=0\\16+8+4k&=0\\4k&=-24\\k&=-6\end{aligned}}$

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