A-level 數學/CIE/純數學 1/函式

符號與術語

函式符號

描述函式主要有兩種方式：用括號表示法，例如 $f(x)=x^{2}-1$，或用對映表示法，例如 $f:x\mapsto x^{2}-1$。這些都描述了函式的作用。

定義

函式

函式是從輸入集到輸出集的對映。例如，函式 $f(x)=3x$ 透過將輸入 $x$ 乘以 3，對映到輸出 $3x$

定義域

定義域是所有有效輸入的集合。例如，函式 $f(x)={\frac {1}{x}}$ 的定義域為 $x\in \mathbb {R} ,x\neq 0$。

值域

值域是所有可能輸出的集合。例如，函式 $f(x)=x^{2}$ 的值域為 $x\geq 0$

一對一函式

一對一函式是指每個輸入都對映到唯一一個輸出，並且每個輸出都對應唯一一個輸入的函式。例如，$f(x)=x^{2},x\in \mathbb {R}$ 不是一對一函式，但 $f(x)=x^{2},x\geq 0$ 是一個一對一函式。

反函式

逆函式是指執行另一個函式相反操作的函式。例如，函式 $f(x)=x+5$ 的逆函式為 $f^{-1}(x)=x-5$。

函式的複合

函式的複合是指將一個函式的輸出作為另一個函式的輸入。例如：如果 $f(x)=x^{2}$ 以及 $g(x)=3x+5$，那麼複合函式 $fg(x)=(3x+5)^{2}$ 以及複合函式 $gf(x)=3x^{2}+5$。請注意，對於兩個任意函式 $f(x)$ 和 $g(x)$，複合函式 $fg(x)$ 和 $gf(x)$ 不相等，除了某些特殊情況。

尋找值域

函式 y=1/x 當 x 趨於無窮大時趨近於零。

要找到函式的值域，我們需要找到函式可以取到的最高值和最低值。

示例 1

求 $f(x)={\frac {1}{x}},x\geq 1$ 的值域。

$x$ 可以取到的最小值為 1，因此值域的一個邊界為 $f(x)={\frac {1}{1}}=1$。

$x$ 可以取到的最大值為無窮大，因此值域的另一個邊界是 $f(x)$ 當 $x$ 趨於無窮大時趨近的值，即為 0。

因此，函式 $f(x)$ 的值域為 $0<f(x)\leq 1$。此值域也可以用區間表示法表示為 $f(x)\in (0,1]$

頂點是圖形到達最低點的位置。

示例 2

求 $g(x)=x^{2}-x-2,x\in \mathbb {R}$ 的值域。

二次函式總是存在一個轉向點，稱為其頂點。這決定了它的值域。頂點可以透過配方法找到。

${\begin{aligned}g(x)&=\ x^{2}-x-2\\&=\ (x-{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}-2\\&=\ (x-{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {9}{4}}\end{aligned}}$

配方法給出了頂點的座標，$({\frac {1}{2}},-{\frac {9}{4}})$.

由於頂點是該函式的最低點，我們可以將值域表示為 $g(x)\geq -{\frac {9}{4}}$，也可以表示為 $g(x)\in [-{\frac {9}{4}},\infty )$

複合函式

複合函式是由將一個函式的輸出作為另一個函式的輸入而建立的函式。

例如，求複合函式 $gf(x)$，其中 $f(x)=3x+5$ 且 $g(x)=2x^{2}$.

${\begin{aligned}gf(x)&=g(f(x))=g(3x+5)\\&=2(3x+5)^{2}=2(9x^{2}+30x+25)\\&=18x^{2}+60x+50\end{aligned}}$

需要注意的是，只有當內層函式的值域在外部函式的定義域內時，才能建立複合函式。

反函式

反函式 是給定函式的反向，例如 $f(x)=x+5$ 的反函式是 $f^{-1}(x)=x-5$.

然而，並非所有函式都有反函式。只有一對一 函式才有反函式。

確定函式是否是一對一

確定函式是否是一對一的正式方法是證明 $f(x)=f(y)\implies x=y$

例如，證明 $f(x)=x^{3}$ 是一個一對一函式。

${\begin{aligned}f(x)&=f(y)\\x^{3}&=y^{3}\\{\sqrt[{3}]{x^{3}}}&={\sqrt[{3}]{y^{3}}}\\x&=y\\\therefore f(x){\text{ is one-to-one}}\end{aligned}}$

尋找反函式

要找到函式的反函式，用 $x$ 替換函式定義中的 $f^{-1}(x)$，然後重新排列變數，使 $f^{-1}(x)$ 成為公式的主體。

例如，求 $f(x)=(2x+3)^{2}-4$ 的反函式。

${\begin{aligned}f(f^{-1}(x))=(2f^{-1}(x)+3)^{2}-4\\x=(2f^{-1}(x)+3)^{2}-4\\(2f^{-1}(x)+3)^{2}=x-4\\2f^{-1}(x)+3={\sqrt {x-4}}\\2f^{-1}(x)={\sqrt {x-4}}-3\\f^{-1}(x)={\frac {{\sqrt {x-4}}-3}{2}}\end{aligned}}$

反函式的繪圖

函式與其反函式的圖形

如果將一個函式及其反函式繪製在同一個圖上，很明顯，反函式的圖形與函式的圖形關於直線 $y=x$ 對稱。

其原因是圖形 $y=f^{-1}(x)$ 等價於 $x=f(y)$

函式變換

變換是改變函式圖形的位置、大小或形狀的操作。

平移

平移改變函式圖形的位置。 $y=f(x)+a$ 可以使函式沿垂直方向移動，而 $y=f(x+a)$ 可以使函式沿水平方向移動。

縮放

縮放是函式改變大小的操作。 $y=af(x)$ 改變函式的垂直大小，而 $y=f(ax)$ 改變函式的水平大小。如果 $a$ 為負數，函式也將被反射。

反射

反射是指函式關於給定直線映象的操作。這可以透過 $y=a-f(x)$ 實現垂直反射，而 $y=f(a-x)$ 實現水平反射。