A-level 數學/CIE/純數學 1/二次方程

配方

配方動畫演示

配方是一種將 $ax^{2}+bx+c$ 形式的表示式轉換為 $a(x-h)^{2}+k$ 形式的表示式的方法。

它依賴於以下事實：$(x+p)^{2}=x^{2}+2px+p^{2}$.

首先，我們取表示式 $ax^{2}+bx+c$ 並將 $a$ 提取出來得到 $a(x^{2}+(b/a)x+(c/a))$.

然後，我們需要認識到 $(x+(b/2a))^{2}=x^{2}+(b/a)x+(b^{2}/4a^{2})$

示例

假設我們需要將 $x^{2}+4x+3$ 轉換為配方形式。

這裡，$a$ 為 1，因此我們無需做任何操作來提取它。

接下來，我們認識到 $(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$，需要在表示式中找到它。

$x^{2}+4x+3=x^{2}+4x+4-1=(x+2)^{2}-1$

因此，我們得到了答案：$x^{2}+4x+3=(x+2)^{2}-1$

判別式

判別式告訴您二次函式與 x 軸相交或相切的次數。

判別式 是一個值，我們可以用它來確定二次函式有多少個實根。一個實根 是二次表示式的值為零的地方。

表示式 $ax^{2}+bx+c$ 的判別式計算為 $\Delta =b^{2}-4ac$。

如果判別式大於零，則有兩個獨立的實根。

如果判別式等於零，則有一個重複根。

如果判別式小於零，則沒有實根。

求解二次方程

求解二次方程或不等式主要有三種方法：因式分解、配方法和使用二次公式。

因式分解

因式分解的一個例子

因式分解 是我們將表示式分解為其因子的過程。

例如，$x^{2}+5x+6$ 可以因式分解為 $(x+2)(x+3)$

因式分解可以用來求解方程：如果兩個因子的乘積等於零，這意味著其中一個因子必須等於零。

例如，求解 $x^{2}+x-6=0$

${\begin{aligned}x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)=0\\\therefore x+3=0\quad or\quad x-2=0\\x=-3\ or\ 2\end{aligned}}$

要分解係數與 $x^{2}$ 項相乘的表示式的因式，只需將係數除掉即可

例如，求解 $3x^{2}+12x+9=0$

${\begin{aligned}3x^{2}+12x+9=0\\x^{2}+4x+3=0&\quad (\div 3)\\(x+3)(x+1)=0\\x=\{-3,-1\}&\quad \leftarrow {\text{Set notation can be used to represent multiple solutions}}\end{aligned}}$

然而，並非所有表示式都能因式分解。

配方

**配方**是指將二次方程從 $ax^{2}+bx+c$ 的形式轉換為 $a(x-h)^{2}+k$ 的形式。這使得求解方程變得更容易，並且在所有情況下都能起作用，不像因式分解那樣。

例如：求解 $x^{2}+12x-9=0$

${\begin{aligned}x^{2}+12x-9=0\\(x+6)^{2}=x^{2}+12x+36\\(x+6)^{2}-36-9=0\\(x+6)^{2}=45\\x+6={\sqrt {45}}\\x=-6\pm 3{\sqrt {5}}\end{aligned}}$

二次方程公式

**二次方程公式**指出：

$ax^{2}+bx+c\iff x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad (a\neq 0)$

例如：求解 $6x^{2}+x-9=0$

${\begin{aligned}6x^{2}+x-9=0\\x={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4(6)(-9)}}}{2(6)}}\\x={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}+216}}}{12}}\\x=(-1+{\sqrt {217}})/12\ or\ (-1-{\sqrt {217}})/12\end{aligned}}$

你可能已經注意到平方根下的部分是判別式。這是有道理的，因為如果判別式為負，則平方根不能得到實數，因此沒有實根。如果判別式為零，則$x=-b/2a$，因此有一個重複根。這留下了判別式為正的情況，導致兩個實根。

聯立方程求解

有時我們需要求解包含線性方程和二次方程的聯立方程。為了求解它們，我們需要使用代入法。

例如，求解聯立方程 $x+y=-1$ 和 $x^{2}+y^{2}=25$

${\begin{aligned}x+y=-1\rightarrow &\ y=x-1\\x^{2}+y^{2}=25\rightarrow &\ x^{2}+(x-1)^{2}=25\\x^{2}+x^{2}-2x+1=25\\2x^{2}-2x-24=0&\quad {\text{Now complete the square}}\\x^{2}-x-12=0\\(x-{\frac {1}{2}})^{2}=12+{\frac {1}{4}}\\x-{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {49}{4}}}\\x={\frac {1}{2}}\pm {\frac {7}{2}}\\x=-3\ or\ 4\end{aligned}}$

識別二次方程

有時二次方程會以其他形式隱藏。如果你可以進行代換將表示式轉換為二次方程，你就可以像求解二次方程一樣求解它。

例如，求解 $6x=1-{\sqrt {x}}$ 中 x 的值

${\begin{aligned}Let\ s={\sqrt {x}}\\6s^{2}=1-s\\6s^{2}+s-1=0\\s^{2}+{\frac {s}{6}}-{\frac {1}{6}}=0\\(s+{\frac {1}{12}})^{2}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{144}}\\s+{\frac {1}{12}}={\sqrt {{\frac {24}{144}}+{\frac {1}{144}}}}\\s={\frac {-1}{12}}\pm {\sqrt {\frac {25}{144}}}\\s={\frac {-1}{12}}\pm {\frac {5}{12}}\\s={\frac {-1}{2}}\ or\ {\frac {1}{3}}\\{\sqrt {x}}={\frac {-1}{2}}\ or\ {\frac {1}{3}}\\x={\frac {1}{4}}\ or\ {\frac {1}{9}}\end{aligned}}$