A-level 數學/CIE/純數學 2/代數

模函式

模函式^{[註釋 1]} $|x|$ 返回 $x$ 的大小。例如， $|\!-\!3|$ 將返回 $3$ ， $|5|$ 將返回 $5$ .

模函式可以定義為 $|x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\x,&{\text{if }}x\geq 0\end{cases}}$ .

模函式的圖形

模函式的圖形只是直線圖形，對於負輸出值已反轉。圖形 $y=|ax+b|$ 類似於圖形 $y=ax+b$ ，不同的是 x 軸下方的每個點都會向上摺疊，從而形成一個 V 形圖形。

此處是一個互動式圖形，它顯示了直線圖形和該直線模圖形之間的關係。

解方程和不等式

為了解涉及模函式的方程和不等式，我們可以對等式兩邊取平方。

例如，解 $|4x+2|>|2x-3|$

${\begin{aligned}|4x+2|&>|2x-3|\\(4x+2)^{2}&>(2x-3)^{2}\\16x^{2}+16x+4&>4x^{2}-12x+9\\12x^{2}+28x-5&>0\\x^{2}+{\frac {7}{3}}x&>{\frac {5}{12}}\\(x+{\frac {7}{6}})^{2}&>{\frac {15}{36}}+{\frac {49}{36}}\\x+{\frac {7}{6}}>{\sqrt {\frac {64}{36}}}&{\text{ or }}x+{\frac {7}{6}}<-{\sqrt {\frac {64}{36}}}\\x+{\frac {7}{6}}>{\frac {8}{6}}&{\text{ or }}x+{\frac {7}{6}}<-{\frac {8}{6}}\\x>{\frac {1}{6}}&{\text{ or }}x<-{\frac {15}{6}}\\{\text{In interval notation, }}x&\in \left(-\infty ,-{\tfrac {5}{2}}\right)\cup \left({\tfrac {1}{6}},\infty \right)\end{aligned}}$

另一種方法是觀察模數內函式符號改變的位置，即 $f(x)=0$ 的位置。

$4x+2$ 在 $x=-{\frac {1}{2}}$ 處改變符號。

$2x-3$ 在 $x={\frac {3}{2}}$ 處改變符號。

${\begin{array}{ccc}{\text{Where }}x<-{\frac {1}{2}}&{\text{Where }}-\!{\frac {1}{2}}\leq x<{\frac {3}{2}}&{\text{Where }}{\frac {3}{2}}\leq x\\-(4x+2)>-(2x-3)&4x+2>-(2x-3)&4x+2>2x-3\\4x+2<2x-3&4x+2>-2x+3&4x+2>2x-3\\2x<-5&6x>1&2x>-5\\x<-{\frac {5}{2}}&x>{\frac {1}{6}}&x>-{\frac {5}{2}}\\&&{\text{Out of range}}\\\end{array}}$

${\text{In interval notation, }}x\in \left(-\infty ,-{\tfrac {5}{2}}\right)\cup \left({\tfrac {1}{6}},\infty \right)$

多項式除法

多項式除法與使用長除法進行數字除法的方法相同。

要做到
改進解釋

數字除法

假設我們需要找到 $22253\div 17$ 。我們可以使用長除法的方法

  ______
17|22253

  __1___
17|22253  17 goes into 22 once with 5 left over
  -17↓    
    52    Next we bring down the 2
    
  __13__
17|22253  
  -17↓↓
    52↓   17 goes into 52 thrice with 1 left over
   -51↓
     15   Next we bring down the 5
    
  __1309
17|22253  
  -17↓↓↓  17 doesn't go into 15, so we bring down the 3
    52↓↓
   -51↓↓
     153  17 goes into 153 nine times with nothing left over
    -153
       0

因此， $22253\div 17=1309$

多項式除法

我們可以使用相同的方法來進行多項式除法。

例如， $(x^{3}+2x^{2}+2x+1)\div (x+1)$

      ____________________
x + 1 |x^3 + 2x^2 + 2x + 1

      ________x^2_________
x + 1 |x^3 + 2x^2 + 2x + 1    (x + 1) goes into (x^3 + 2x^2) x^2 times with x^2 left over
     -(x^3 +  x^2)   ↓
              x^2 + 2x         Bring down the 2x

      ________x^2_+__x____
x + 1 |x^3 + 2x^2 + 2x + 1    (x + 1) goes into (x^2 + 2x) x times with x left over
     -(x^3 +  x^2)   ↓   ↓
              x^2 + 2x   ↓     Bring down the 1
            -(x^2 +  x)  ↓
                     x + 1

      ________x^2_+__x___1
x + 1 |x^3 + 2x^2 + 2x + 1    (x + 1) goes into (x + 1) once with nothing left over
     -(x^3 +  x^2)   ↓   ↓
              x^2 + 2x   ↓     
            -(x^2 +  x)  ↓
                     x + 1
                   -(x + 1)
                         0

因此， $(x^{3}+2x^{2}+2x+1)\div (x+1)=x^{2}+x+1$

餘數定理

當除數不能完全整除被除數時，就會出現餘數。

例如， $22256\div 17={\frac {22253}{17}}+{\frac {3}{17}}=1309+{\frac {3}{17}}$ 餘數為 $3$ 。

它也可能出現在多項式中

      ____________________
x + 2 |x^3 + 3x^2 + 3x + 3

      ________x^2_________
x + 2 |x^3 + 3x^2 + 3x + 3
     -(x^3 + 2x^2)   ↓
              x^2 + 3x
              
      ________x^2_+__x____
x + 2 |x^3 + 3x^2 + 3x + 3
     -(x^3 + 2x^2)   ↓   ↓
              x^2 + 3x   ↓
            -(x^2 + 2x)  ↓
                     x + 3

      ________x^2_+__x_+_1
x + 2 |x^3 + 3x^2 + 3x + 3
     -(x^3 + 2x^2)   ↓   ↓
              x^2 + 3x   ↓
            -(x^2 + 2x)  ↓
                     x + 3
                   -(x + 2)
                         1

這裡，餘數是 $1$ 。

這可以表示為 $x^{3}+3x^{2}+3x+3=(x^{2}+x+1)(x+2)+1$

一般來說，商和餘數可以表示為 $Dividend=(Quotient)(Divisor)+Remainder$

這個表示式導致了數學中一個有用的定理：餘數定理。

如果我們用給定的除數 $(ax-b)$ 除以多項式 $p(x)$ ，這個表示式可以寫成 $p(x)=(Quotient)(ax-b)+Remainder$ .

如果我們將 $b/a$ 的值代入多項式，得到

${\begin{aligned}p(b/a)&=(Quotient)(a(b/a)-b)+Remainder\\p(b/a)&=(Quotient)(b-b)+Remainder\\p(b/a)&=(Quotient)(0)+Remainder\\p(b/a)&=Remainder\\\end{aligned}}$

因此，餘數定理指出，對於給定的多項式 $p(x)$ ， $p(b/a)$ 給出了從 ${\frac {p(x)}{ax-b}}$ 獲得的餘數。

例如，如果 $p(x)=x^{3}+3x^{2}+3x+3$ ， $p(-2)$ 將給出從 $(x^{3}+3x^{2}+3x+3)\div (x+2)$ 獲得的餘數。

${\begin{aligned}p(-2)&=(-2)^{3}+3(-2)^{2}+3(-2)+3\\&=-8+3(4)-6+3\\&=-8+12-3\\&=1\end{aligned}}$

因式定理

因式定理是餘數定理的一個特例，當餘數為零時適用。

如果餘數為零，則意味著除數是被除數的因式。

因此，如果 $p(b/a)=0$ ，則 $(ax-b)$ 是 $p(x)$ 的因式。

例如， $p(x)=x^{3}-5x^{2}+x+10$ 。使用因式定理找到 $p(x)$ 的一個因式。

${\begin{aligned}p(1)&=1^{3}-5(1^{2})+1+10=1-5+1+10=7&\neq 0\\p(-1)&=(-1)^{3}-5(-1)^{2}-1+10=-1-5-1-10=-17&\neq 0\\p(2)&=2^{3}-5(2^{2})+2+10=8-5(4)+2+10=8-20+12&=0\\\therefore \ &(x-2){\text{ is a factor of }}x^{3}-5x^{2}+x+10\end{aligned}}$

說明

↑ 也稱為絕對值函式

對數和指數函式 →

[1] 也稱為絕對值函式

[註釋 1]