A-level 數學/CIE/純數學 2/對數與指數函式

對數和指數

對數是指數函式的逆函式。

例如，函式 $f(x)=3^{x}$ 的逆函式是 $f^{-1}(x)=\log _{3}x$。

一般情況下，$y=b^{x}\iff x=\log _{b}y$，前提是 $b>0$。

對數定律

對數定律可以從指數定律推匯出來

${\begin{aligned}x^{a+b}=x^{a}\times x^{b}&\iff \log a+\log b=\log ab\\x^{a-b}=x^{a}\div x^{b}&\iff \log a-\log b=\log a/b\\(x^{a})^{b}=x^{ab}&\iff \log a^{b}=b\log a\end{aligned}}$

這些定律適用於任何給定底的對數

自然對數

自然對數是以 $e$ 為底的對數，其中 $e$ 是一個常數，使得函式 $e^{x}$ 是它自身的導數。

自然對數有一個特殊的符號：$\ln x$

圖形 $y=e^{kx}$ 當 $k>0$ 時呈指數增長，當 $k<0$ 時呈指數衰減。反函式的圖形是 $y={\frac {1}{k}}\ln x$。這裡 是一個互動式圖形，它展示了這兩個函式作為彼此的反函式。

解對數方程和指數方程

指數方程 是一個方程，其中一個或多個項是指數函式。例如 $5^{x}=2^{x+2}$。指數方程可以用對數來解。

例如，解 $3^{x+1}=4^{2x-1}$

${\begin{aligned}3^{x+1}&=4^{2x-1}\\(x+1)\ln 3&=(2x-1)\ln 4\\x\ln 3+\ln 3&=2x\ln 4-\ln 4\\\ln 3+\ln 4&=x(2\ln 4-\ln 3)\\x&={\frac {\ln 3+\ln 4}{2\ln 4-\ln 3}}\\x&\approx 1.4844\end{aligned}}$

對數方程 是一個方程，其中一個或多個項是對數。

例如，解 $\lg x+\lg(x+2)=2$

${\begin{aligned}\lg x+\lg(x+2)&=2\\\lg(x(x+2))&=2\\x(x+2)&=100\\x^{2}+2x&=100\\(x+1)^{2}&=101\\x+1&={\sqrt {101}}\\x&=-1\pm {\sqrt {101}}\end{aligned}}$

將關係轉換為線性形式

在數學和科學中，處理線性關係比處理非線性關係更容易。對數可以用來將一些非線性關係轉換為線性關係。

指數關係

指數關係的形式為 $y=ab^{x}$。如果我們對等式兩邊取自然對數，我們得到 $\ln y=\ln a+x\ln b$。現在我們得到了 $\ln y$ 和 $x$ 之間的線性關係。

例如，以下資料與指數關係相關。確定此指數關係，然後將其轉換為線性形式。

x	y
0	5
2	45
4	405

${\begin{aligned}{\text{Exponential relationship }}\implies y&=ab^{x}\\5&=ab^{0}=a(1)\\a&=5\\y&=5b^{x}\\45&=5b^{2}\\9&=b^{2}\\b&=3\\y&=5(3^{x})\end{aligned}}$

現在透過對等式兩邊取自然對數將其轉換為線性形式

${\begin{aligned}y&=5(3^{x})\\\ln y&=\ln 5+x\ln 3\end{aligned}}$

冪關係

冪關係的形式為 $y=ax^{b}$。如果我們對等式兩邊取自然對數，我們得到 $\ln y=\ln a+b\ln x$。這是 $\ln y$ 和 $\ln x$ 之間的線性關係。

例如，行星繞太陽執行的時間（軌道週期）與其到太陽的距離之間存在冪律關係。使用以下資料 推匯出此冪律

行星	距離太陽 /106 公里	軌道週期 /天
地球	149.6	365.2
火星	227.9	687.0
木星	778.6	4331

${\begin{aligned}{\text{Power law}}\implies T&=aR^{b}\\{\text{Use Earth data}}\implies 365.2&=a(149.6^{b})\\\ln 365.2&=\ln a+b\ln 149.6\\{\text{Use Mars data}}\implies 687.0&=a(227.9^{b})\\\ln 687.0&=\ln a+b\ln 227.9\\\ln 687.0-\ln 365.2&=\ln a-\ln a+b\ln 227.9-b\ln 149.6\\\ln {\frac {687.0}{365.2}}&=0+b(\ln {\frac {227.9}{149.6}})\\b&={\frac {\ln {\tfrac {687.0}{365.2}}}{\ln {\tfrac {227.9}{149.6}}}}\approx 1.5011\\\ln 365.2&=\ln a+1.5011\ln 149.6\\\ln a&=\ln 365.2-\ln 1839.9\\\ln a&=\ln 0.1985\\a&=0.1985\\\therefore T&=0.1985R^{1.5011}\end{aligned}}$

參考資料

註釋