微分方程在建模中的應用

開始之前你應該知道什麼

你之前在核心 4 中做過類似的工作，但是問題會更高階。核心 4 的內容在這裡有介紹，但是之前做過核心 4 會比較方便
你需要知道核心 2、核心 3 和核心 4 中的所有微積分知識
你需要學習過牛頓定律和力學 1 中的通用運動

一些定義

微分方程導論

體內藥物的含量如何隨時間變化？一杯咖啡需要多長時間才能冷卻？月亮需要多少天才能恢復到相同的形狀？這些問題都有一個共同點。它們都有一個不斷變化的量。我們看到生活中大多數事物的變化。一些變化是永久的，比如咖啡的溫度。一些有重複的模式，比如月球的週期。

你已經學習了很多描述這些變化的數學知識，但從未真正將它們應用到現實生活中。你從以前的微積分學習中知道，一個量的變化率稱為導數。如果一個方程包含導數，它就是一個微分方程。

微分方程最簡單的形式是顯示一個變數相對於另一個變數的變化率，比如

1. ${\frac {dy}{dx}}=x+y$ ,
2. ${\frac {dP}{dt}}=0.02P$

這些是微分方程的兩個非常基本的例子。你將在後面的章節學習如何解它們。

微分方程的解給出了變數之間的關係，不包含導數。上述微分方程的解由下式給出

1. $y=-x-1+Ce^{x}$
2. $P=Ae^{0.02t}$

(其中 C 和 A 是積分常數)

當涉及更高階導數時（ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ ），或者如果它們包含更多變數，微分方程就會變得更加複雜。

建模

為了成功解決任何問題，你需要開發一個能夠充分描述情況的數學模型。在本模組中，你將學習如何解決可以使用微分方程解決的問題。

對於某些問題，你可以直接進行數學運算。這通常是當你已經擁有可以應用於情況的模型時。這些通常包括：但不限於牛頓運動定律和許多運動學問題（基本上是力學 1 中的內容）。因此，你對一個問題的解決方案將取決於你做出的假設和簡化，比如忽略空氣阻力，或假設質量恆定等等。這有時會導致你的解決方案出現顯著的誤差。收集資料可以幫助你判斷你的模型是否正確。

然而，有些問題需要開發自己的模型。這意味著你需要進行一些實驗來找到你得到的結果之間的相關性。這將有助於你更好地理解問題，並幫助你制定數學模型。