A-level 數學/MEI/M1

力

位移 ($m$), 速度 ($ms^{-1}$), 加速度 ($ms^{-2}$) 和力 ($N$) 都是向量。向量有方向和大小，但通常以 ${\begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix}}$ 的形式定義，其中 i 通常為向東 (x 軸)，j 為向北 (y 軸)。這個向量的 絕對值（也稱為大小）為 $|r|={\sqrt {i^{2}+j^{2}}}$，從水平正方向 i 開始的角度為 $\theta =\arctan {\frac {j}{i}}$。

在考慮力問題時，通常最好將系統作為一個整體來考慮，然後再分別考慮各個部分。您應該熟悉 ${\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {a}}$（力 = 質量乘以加速度），其中作用在質量為 m 的物體上的“淨”力使其以加速度 a 加速。

示例

一個質量為 5 kg 的均勻球體受到 ${\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}}N$ 的力作用。計算加速度。

您可以使用 $a={\frac {F}{m}}$ 來解決這個問題：${\frac {\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}}{5}}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}ms^{-2}$ 如果需要，您可以找到此加速度的大小：$|a|={\sqrt {2^{2}+3^{2}}}={\sqrt {13}}$。

力分量

考試試卷總是要求你找出適當的力分量，這些分量通常涉及由繩索或杆引起的“張力”和“推力”。你不必擔心它們的內部過程，只需考慮它們在兩側都存在一個貫穿始終的力。因此，如果您放置兩個箱子，並用一根不可伸長的繩子連線起來，然後將這些箱子拉開，繩子內部就會產生張力。同樣，對於一根剛性杆，如果您將一輛汽車與一輛拖車連線起來，然後剎車，杆將經歷很大的壓縮（推力），並對拖車產生向後的力。

由於力是向量（其他命名的量也是如此），如果給定一個以大小和方向形式表示的力，你可以使用三角學輕鬆計算向量的 i 和 j 分量。此模組中最常用的三角學是基本的$r_{V}=|r|\sin {\theta }$ 和 $r_{H}=|r|\cos {\theta }$.

非常常見的問題涉及以一定角度傾斜的斜面，以及作用在該斜面上物體的幾個力。你需要分解平行於斜面和垂直於斜面的力，其中平行力總是與$\sin \theta$ 成正比，而垂直力（通常是反作用力）則與$\cos \theta$ 成正比。

運動學

你應該熟悉描述勻加速運動的Suvat 運動方程。

微積分在解題中的應用

加速度是速度的導數。速度是位移的導數。同樣，位移是速度的積分，速度是加速度的積分。位移是加速度的積分。例如，如果我們考慮運動學，則方程$s=ut+{\frac {1}{2}}at^{2}$ 用於描述勻加速運動（相對於時間）將來自於：$s=\iint a\,dt\,dt=\int at+u\,dt={\frac {1}{2}}at^{2}+ut+c=c+ut+{\frac {1}{2}}at^{2}$

積分時一個非常常見的錯誤是漏掉了常數。另一個更嚴重的錯誤是求解給定積分（例如，t=3 到 t=6 之間），你需要找到所經過的總距離，而不是位移（速度可能變為負值，例如，在 t=5 時，導致位移變小）——因此你需要從 t=3 積分到 t=5，以及從 t=5 積分到 t=6，並將兩者相加作為正值。

拋射運動

一個常見問題是求解將球拋過牆等情況。在拋射運動中，需要分別考慮 j 和 i 方向上的運動。如果你被要求求解拋射物的射程，最好的方法是求解 j 方向為 0 的時間（當然，t=0s 是第一個可能的時間），然後將該時間代回求解 i 方向。