A-level 數學/OCR/C2/積分/解答

已解決問題

1a)

$\int 2x^{5}\,dx$

使用我們的規則： $\int {\frac {dy}{dx}}=x^{n}dx$ 等於 $y={\frac {x^{(n+1)}}{(n+1)}}+C$

我們得到

$y={\frac {2x^{6}}{6}}+C$

b)

$\int 7x^{6}+2x^{3}-x^{2}\,dx$

再次使用我們的規則，我們會得到

$y=x^{7}+{\frac {x^{4}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+C$

2a)

$\int x+5\,dx$ 已知點 $(0,3)$ 位於曲線上。

使用我們的規則，積分變為

$y={\frac {x^{2}}{2}}+5x+C$

現在我們可以代入我們的點 $(0,3)$，因此

$3={\frac {0^{2}}{2}}+5(0)+C$

所以 C = 3

b)

$\int 3x^{2}+7x+0.1\,dx$

計算這個積分我們得到： $x^{3}+{\frac {7x^{2}}{2}}+0.1x+C$

已知 (2,2)，代入這些點

$2=2^{3}+{\frac {7(2^{2})}{2}}+0.2+C$

$2=8+14+0.2+C$

$C=-20.2$

3a)

$\int _{0}^{2}x+1\,dx$

計算得到

${\Bigg \lfloor }{\frac {x^{2}}{2}}+x{\Bigg \rceil }_{0}^{2}$

代入值得到

${\Bigg \lfloor }\left({\frac {2^{2}}{2}}+2\right)-\left({\frac {0^{2}}{2}}+0\right){\Bigg \rceil }$

$=4$

b)

$\int _{-3}^{4.7}{\frac {1}{7}}x^{\frac {1}{3}}+1\,dx$

計算得到

${\Bigg \lfloor }{\frac {3x^{\frac {4}{3}}}{28}}+x{\Bigg \rceil }_{-3}^{4.7}$

${\Bigg \lfloor }\left({\frac {3(4.7)^{\frac {4}{3}}}{28}}+4.7\right)-\left({\frac {3(-3)^{\frac {4}{3}}}{28}}-3\right){\Bigg \rceil }$

$\approx 8.08$

4)

問題只是要求計算這個定積分

${\begin{aligned}\int _{-2}^{0}{\bigg (}y=-x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{3}+3x^{2}{\bigg )}\,dx&={\Bigg \lfloor }\left({\frac {-1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{8}}x^{4}+x^{3}\right){\Bigg \rceil }_{-2}^{0}\\&=-{\bigg (}{\frac {-1}{5}}*-2^{5}-{\frac {1}{8}}*-2^{4}-2^{3}{\bigg )}\\&=3.6\end{aligned}}$