A-level 數學/OCR/C2/積分

積分是反微分的過程。在上一段中我們看到，對一個函式求導可以得到該函式的斜率（或變化率）。另一方面，對一個函式求積分，可以得到該函式曲線下的面積。

基本積分

積分是微分的逆運算。

符號

積分符號是 $\int f\left(x\right)dx$。萊布尼茨選擇了這個符號，因為它看起來像一個拉長的 S，而積分是和的極限。f(x)被稱為被積函式。dx 表示我們對 x 求積分。

積分規則

每次積分一個函式時，必須建立一個任意常數。這是因為當一個常數被微分時，它會變成零，因此無法判斷是否存在這樣的常數。

$\int x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C,\ (n\neq -1)$

$\int kx^{n}\,dx=k\int x^{n}\,dx$

$\int \left\{f^{'}(x)+g^{'}(x)\right\}\,dx=f(x)+g(x)+C$

$\int \left\{f^{'}(x)-g^{'}(x)\right\}\,dx=f(x)-g(x)+C$

示例

$\int x^{3}={\frac {1}{3+1}}x^{3+1}+c={\frac {1}{4}}x^{4}+c$

$\int 4x^{3}=4\int x^{3}=4\left({\frac {1}{3+1}}x^{3+1}\right)+c=4\left({\frac {1}{4}}x^{4}\right)+c=x^{4}+c$

$\int x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-x+3=\int x^{4}-\int 3x^{3}+\int 4x^{2}-\int x+\int 3={\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {3}{4}}x^{4}+{\frac {4}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+3x+c$

微積分基本定理

這是微積分中最重要的定理，它表明微分和積分是互逆的過程。定理如下：設 f 在 [a,b] 上連續。

1. 如果 $g(x)=\int _{a}^{x}f\left(t\right)\ dt$ 那麼 $g'\left(x\right)=f\left(x\right)$
2. $\int _{a}^{b}f\left(x\right)\ dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, F 是 f 的反導數，使得 F' = f

第一個規則表明，如果我們對一個函式進行積分，然後對結果進行微分，我們將得到相同的函式。第二部分說，我們可以透過在端點處減去 F 的值來找到定積分。

不定積分

微積分基本定理的第一部分表明，如果我們對一個函式進行微分，然後對一個函式進行積分，我們將得到一個不定積分。當我們計算不定積分時，結果將是一個函式。對於不定積分，我們使用適當的規則來獲得一般反導數。如果給出圖上的一個點，我們求解 C，以獲得完整的反導數。

例子

一個函式的速率由方程 $4x^{3}+3x^{2}-4x+2$ 給出，點 (0, -7) 在曲線上。求曲線的方程。

1. 我們需要找到 $4x^{3}+3x^{2}-4x+2$ 的一般不定積分。

$\int (4x^{3}+3x^{2}-4x+2)dx=x^{4}+x^{3}-2x^{2}+2x+C$

1. 現在我們將點 (0, -7) 代入一般反導數中以獲得 C 的值。

$-7=\left(0\right)^{4}+\left(0\right)^{3}-2\left(0\right)^{2}+2\left(0\right)+C$

$C=-7$

1. 現在我們可以寫出完整的反導數。

$F\left(x\right)=x^{4}+x^{3}-2x^{2}+2x-7$

定積分

定積分用於求曲線的下面積。微積分基本定理的第二部分允許我們計算這些積分，結果將是一個數字。定積分表示為 $\int _{a}^{b}f\left(x\right)\,dx$。在定積分中，a 是*下限*，b 是*上限*，它們一起被稱為*積分限*。積分限決定了求解面積的區間。當我們計算定積分時，我們不會寫 +c，因為它們總是會抵消，而且可能導致混淆。當我們寫 $F(x){\Big ]}_{a}^{b}$，這意味著我們已經找到了不定積分，並將要從 b 到 a 求解定積分。

定積分的規則

1. $\int _{a}^{b}f\left(x\right)\ dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, F 是 f 的反導數，使得 F' = f
2. $\int _{a}^{b}f\left(x\right)\ dx=-\int _{b}^{a}f\left(x\right)\ dx$
3. $\int _{a}^{a}f\left(x\right)\ dx=0$
4. 曲線與 x 軸之間的面積為 $\int _{a}^{b}y\,dx\ ({\mbox{for}}\ y\geq 0)$

1. 曲線與 y 軸之間的面積為 $\int _{a}^{b}x\,dy\ ({\mbox{for}}\ x\geq 0)$

曲線包圍區域的面積

當我們計算曲線下的面積時，我們需要確保我們求面積的區間不會部分或全部位於x軸下方。為了確定這一點，我們需要找到函式的x軸截距。然後我們檢視x軸截距是否在區間內。如果是，我們需要確定區間中哪一部分位於x軸下方。如果整個區間都位於x軸下方，我們將取面積的絕對值 $\int _{a}^{b}{\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$。如果只有區間的一部分位於x軸下方，我們需要將積分函式分解為正負部分。對於負部分，我們需要取面積的絕對值。例如：如果我們需要找到 $\int _{a}^{b}$ 的面積，並且在區間的 $a,a_{1}$ 和 $b_{1},b$ 上曲線位於x軸上方，而在區間 $a_{1},b_{1}$ 上曲線位於x軸下方，我們將積分分解為以下部分： $\int _{a}^{a_{1}}f\left(x\right)dx+\int _{a_{1}}^{b_{1}}{\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}dx+\int _{b_{1}}^{b}f\left(x\right)dx$。如果你無法求出定積分的值，你需要使用 數值方法 來估計面積。

例子

求 $\int _{0}^{3}x^{3}-6x\ dx$ 的值。

1. 首先，我們需要找到x軸截距。在本例中，它們將位於0和2處。
2. 然後我們確定x在區間上是正的還是負的。

0__f(1)=-5__2__f(3)=9.

1. 現在我們將積分分解為幾部分。 $\int _{0}^{2}{\begin{vmatrix}x^{3}-6x\end{vmatrix}}\ dx+\int _{2}^{3}x^{3}-6x\ dx$.
2. 現在我們求出兩個定積分的值。

$\left(\left({\frac {1}{4}}\left(3\right)^{4}-3\left(3\right)^{2}\right)-\left({\frac {1}{4}}\left(2\right)^{4}-3\left(2\right)^{2}\right)\right)$ + $\left({\begin{vmatrix}\left({\frac {1}{4}}\left(2\right)^{4}-3\left(2\right)^{2}\right)-\left({\frac {1}{4}}\left(0\right)^{4}-3\left(0\right)^{2}\right)\end{vmatrix}}\right)$.

$\left(-6.75--8\right)$ + $\left({\begin{vmatrix}-8-0\end{vmatrix}}\right)$ = 9.25

1. 曲線$x^{3}-6x$在 0 到 3 之間的曲線下面積是 9.25。

包含兩條曲線的面積

由兩條曲線包圍的面積

為了計算由曲線包圍的面積，我們需要

1. 找到兩條曲線相交的地方。 $f\left(x\right)=g\left(x\right)$。 較低的交點將成為積分的下限，較高的交點將成為積分的上限。
2. 決定是否對 x 或 y 進行積分。 這在大多數情況下很容易做到，看看函式更易於作為 y = f(x) 或 x = f(y) 進行積分。
3. 確定哪條曲線在另一條曲線之上。
4. 從上面的曲線中減去下面的曲線。 $A=\int _{a}^{b}{\begin{vmatrix}f\left(x\right)-g\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$
5. 計算定積分

例子

求由 $y=x^{2}+3x-3$ 和 $y=x$ 包圍的面積。

1. $x^{2}+3x-3=x\,$

$x^{2}+2x-3=0\,$

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$

$x=-3\ or\ 1\,$

1. 我們將對 x 進行積分，因為方程的形式是 f(x)。
2. 現在我們必須確定哪條線在另一條線之上。 為此，我們只需測試一個點。 我將使用 f(x) = 0

$y=0^{2}+3\times 0-3$ 和 $y=0\,$

$y=-3$ 和 $y=0\,$

所以 $y=x$ 將位於 $y=x^{2}+3x-3$ 之上。

1. 現在我們寫出積分。

$\int _{-3}^{1}{\begin{vmatrix}\left(x\right)-\left(x^{2}+3x-3\right)\end{vmatrix}}dx$

$\int _{-3}^{1}{\begin{vmatrix}-x^{2}-2x+3\end{vmatrix}}dx$

1. 最後我們計算定積分。

${\begin{vmatrix}-{\frac {1}{3}}x^{3}-x^{2}+3x\end{vmatrix}}{\Big ]}_{-3}^{1}$

${\begin{vmatrix}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{3}}\left(1\right)^{3}-\left(1\right)^{2}+3\left(1\right)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{3}}\left(-3\right)^{3}-\left(-3\right)^{2}+3\left(-3\right)\end{bmatrix}}\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}1{\frac {2}{3}}-(-9)\end{vmatrix}}$

$Area=10{\frac {2}{3}}$

兩條曲線之間的面積

當我們計算兩條曲線之間的面積時，過程與計算兩條曲線圍成的面積非常相似。在問題中會給出積分的上下限。主要區別在於，在某些情況下我們需要將積分分開。

1. 找到兩條曲線相交的地方。 $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
2. 如果兩條曲線在積分限內相交，我們需要將積分分成幾部分。我們將使用相交點作為斷點。
3. 決定是否對 x 或 y 進行積分。 這在大多數情況下很容易做到，看看函式更易於作為 y = f(x) 或 x = f(y) 進行積分。
4. 確定哪條曲線在另一條曲線的上面。如果積分被分割，在每個區間上都這樣做。
5. 用上面的曲線減去下面的曲線。 $A=\int _{a}^{b}{\begin{vmatrix}f\left(x\right)-g\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$。如果積分被分割，我們將把各個部分加起來。
6. 計算定積分。

例子

求由 $y=x^{2}+3x-3$ 和 $y=x$ 在 x = -4 和 x = 4 之間的面積。

1. $x^{2}+3x-3=x\,$

$x^{2}+2x-3=0\,$

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$

$x=-3\ or\ 1\,$

1. 由於圖形在區間上有相交點，我們需要將積分分成幾部分。這些部分將是 (-4, -3), (-3, 1) 和 (1,4)。
2. 我們將對 x 進行積分，因為方程的形式是 f(x)。
3. 現在我們必須確定在每個區間上哪條線在另一條線的上面。為此，我們只需在每個區間上測試一個點。

對於直線 $y=x$ __f(-4)=-4__f(-2)=-2___f(3)=3__。

對於曲線 $y=x^{2}+3x-3$ __f(-4)=-1__f(-2)=-5___f(3)=15__.

現在我們知道在區間 (-4, -3) 上 $y=x^{2}+3x-3$ 在 $y=x$ 之上， (-3, 1) 上 $y=x$ 在 $y=x^{2}+3x-3$ 之上， (1, 4) 上 $y=x^{2}+3x-3$ 在 $y=x$ 之上。

1. 現在我們寫出積分。

$\int _{-4}^{-3}{\begin{vmatrix}\left(x^{2}+3x-3\right)-\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$ + $\int _{-3}^{1}{\begin{vmatrix}\left(x\right)-\left(x^{2}+3x-3\right)\end{vmatrix}}dx$+ $\int _{1}^{4}{\begin{vmatrix}\left(x^{2}+3x-3\right)-\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$

$\int _{-4}^{-3}{\begin{vmatrix}\left(x^{2}+2x-3\right)\end{vmatrix}}dx$ + $\int _{-3}^{1}{\begin{vmatrix}-x^{2}-2x-3\end{vmatrix}}dx$ + $\int _{1}^{4}{\begin{vmatrix}\left(x^{2}+2x-3\right)\end{vmatrix}}dx$

1. 現在我們計算定積分。

${\begin{vmatrix}{\frac {1}{3}}x^{3}+x^{2}-3x\end{vmatrix}}{\Big ]}_{-4}^{-3}$ + ${\begin{vmatrix}-{\frac {1}{3}}x^{3}-x^{2}+3x\end{vmatrix}}{\Big ]}_{-3}^{1}$ + ${\begin{vmatrix}{\frac {1}{3}}x^{3}+x^{2}-3x\end{vmatrix}}{\Big ]}_{1}^{4}$

${\begin{vmatrix}-9-{\frac {-76}{3}}\end{vmatrix}}$ + ${\begin{vmatrix}{\frac {2}{3}}-18\end{vmatrix}}$ + ${\begin{vmatrix}{\frac {76}{3}}-{\frac {-5}{3}}\end{vmatrix}}$

$Area=60{\frac {2}{3}}$

曲線下面積的估計

當一個函式很難或不可能積分，或者當我們從一組值獲得曲線時，就需要估計曲線下的面積。

梯形法則

梯形法則透過將曲線變成一組梯形（或條帶）來估計曲線在限制之間的面積，每個條帶由兩個縱座標組成，因此始終比條帶多一個縱座標。公式是

$\int _{a}^{b}y\,dx\approx {\frac {1}{2}}h\left\{\left(y_{0}+y_{n}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n-1}\right)\right\}$

其中：$h={\frac {b-a}{n}}$

例子

使用梯形法則用4個條帶計算$\int _{0}^{1}(2x+1)^{1}/2\ dx$的值。

首先，我們算出h。

$h={\frac {1-0}{4}}={\frac {1}{4}}=0.25$

現在我們開始建立梯形法則。

$\int _{0}^{1}(2x+1)^{1}/2\ dx\approx {\frac {1}{8}}\left[f\left(0\right)+f\left(1\right)+2\left\{f\left(0.25\right)+f\left(0.5\right)+f\left(0.75\right)\right\}\right]$

求解 f(n) 我們得到

$\int _{0}^{1}(2x+1)^{1}/2\ dx\approx {\frac {1}{8}}\left[1+1.73+2\left\{1.22+1.41+1.42\right\}\right]$

$\int _{0}^{1}(2x+1)^{1}/2\ dx\approx \ 1.39375$

積分到無窮大

一個積分的上限趨於 $\infty$ 或下限趨於 $-\infty$ 的積分是不定積分，不能直接計算，我們需要找到函式的極限。不定積分 $\int _{a}^{\infty }f\left(x\right)\ dx$ 和 $\int _{-\infty }^{b}f\left(x\right)\ dx$ 如果極限存在則收斂，如果極限不存在則發散。計算積分趨於無窮大的規則是

1) 如果 $\int _{a}^{\infty }f\left(n\right)\ dx$ 對所有數字 $n\geq a$ 存在，則

$\int _{a}^{\infty }f\left(x\right)\ dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{\infty }f\left(x\right)\ dx$

極限必須是一個有限數。

2) 如果 $\int _{n}^{b}f\left(x\right)\ dx$ 對所有數字 $n\leq b$ 存在，則

$\int _{-\infty }^{b}f\left(x\right)\ dx=\lim _{n\to -\infty }\int _{-\infty }^{b}f\left(x\right)\ dx$

極限必須是一個有限數。

3) 如果 $\int _{a}^{\infty }f\left(n\right)\ dx$ 和 $\int _{n}^{b}f\left(x\right)\ dx$ 收斂，那麼

$\int _{-\infty }^{\infty }f\left(n\right)\ dx=\int _{n}^{a}f\left(x\right)\ dx+\int _{a}^{\infty }f\left(n\right)\ dx$

a 是任何實數。

你現在可以嘗試 積分練習題。

這是 C2（核心數學 2）模組的一部分，來自 A-level 數學 文字。

多項式除法和因式分解 / 數列和級數 / 對數和指數 / 圓和角 / 積分

附錄 A：公式