A-level 數學/OCR/C2/對數和指數

指數函式的運算

指數函式是指以常數為底 (b) 並以變數為指數的函式。

乘法

首先， $b^{x}\times b^{2x}$ 等於 $b^{\left(x+2x\right)}\,$ ，即 $b^{3x}\,$ 。因此，當您將一個底數乘以同一個底數時，您將指數相加。為了說明這一點，以下是一個用數字表示的示例：

$x\,$	$2^{x}\,$	$2^{2x}\,$	$2^{x}\times 2^{2x}\,$	$2^{3x}\,$
1	2	4	8	8
2	4	16	64	64

除法

其次， ${\frac {b^{2x}}{b^{y}}}$ 等於 $b^{\left(2x-y\right)}\,$ 。因此，當一個底數被同一個底數除時，您將指數相減。

以下是一個用數字表示的示例： ${\frac {2^{4}}{2^{2}}}={\frac {16}{4}}=4=2^{2}$ .

底數的平方

第三， $\left(b^{2x}\right)^{3x}$ 等於 $b^{\left(2x\right)\times \left(3x\right)}$ ，即 $b^{6x^{2}}$ 。所以當一個底數帶有變數並被另一個變數次方時，你需要將這兩個變數相乘。下面是另一個用數字的例子：（當 x = 1 時） $\left(2^{2}\right)^{3}=4^{3}=64=2^{6}$ 。

多個底數

第四，當 $a^{2}\times b^{2}=ab\times ab$ 時，它等同於 $\left(ab\right)^{2}\,$ 。下面是一個用數字的例子： $2^{2}\times 3^{2}=36=6^{2}$ 。除法也類似： $\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}\times {\frac {a}{b}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ 。所以當您將兩個不同的底數乘除並都用同一個變數次方時，您可以先將它們乘除，然後再用該變數次方。

分數指數

最後一種情況是 x 以分數形式出現時，您可以建立一個平方根函式，例如 $b^{\frac {1}{x}}$ 變為 $\pm {\sqrt[{x}]{b}}$ 。但是，通常只使用正根，所以 $b^{\frac {1}{x}}$ 被定義為 ${\sqrt[{x}]{b}}$ 。另一個類似的情況是當分數的分子中包含一個常數（表示為 c）而不是 1 時，例如 $b^{\frac {3}{x}}=\left({\sqrt[{x}]{b}}\right)^{3}$ ，所以 $b^{\frac {c}{x}}=\left({\sqrt[{x}]{b}}\right)^{c}$ 。

指數法則

上面提到的規則被稱為指數法則，可以寫成

$b^{x}b^{y}=b^{x+y}\,$
${\frac {b^{x}}{b^{y}}}=b^{x-y}$
$\left(b^{x}\right)^{y}=b^{xy}$
$a^{n}b^{n}=\left(ab\right)^{n}\,$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$
$b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$
$b^{\frac {c}{x}}=\left({\sqrt[{x}]{b}}\right)^{c}$ 其中c為常數
$b^{1}=b\,$
$b^{0}=1\,$

指數方程的求解

為了解指數方程，需要確保所有底數相同。然後可以移除底數，解出變數。以下是一個例子

求解x。 $2^{\left(x-1\right)}=16\,$

現在我們將16轉換為以2為底的指數形式。

$2^{\left(x-1\right)}=2^{4}\,$

現在我們可以移除底數。因此我們得到

$x-1=4\,$

最後解出x。

$x=5\,$

指數函式的影像

繪製指數函式的影像時，可以使用與繪製普通函式相同的方法。下面有一個圖表供您參考。

對數函式

在數學中，你可以透過交換 x 和 y 來找到指數函式的逆函式： $y=b^{x}\,$ 變為 $x=b^{y}\,$ 。問題在於如何找到 y 的值。對數函式解決了這個問題。所有將對數函式轉換為指數函式的轉換都遵循相同的模式： $x=b^{y}\,$ 變為 $y=\log _{b}x\,$ 。如果給定的對數沒有寫 b，則 b=10。此外，對於對數函式，b > 0 且 $b\neq 1$ 。對數等於 x 有兩種情況： $\log _{b}b^{X}=X\,$ 和 $b^{\log _{b}X}=X\,$ 。