A-level 數學/OCR/C2/數列與級數

定義

數列只是一組按照特定順序排列的數字。我們稱這些數字為數列的項。例如，2,4,6,8 是正偶數數列的前四項。當我們對數列中的項求和時，我們得到一個級數。例如，2+4+6+8+... 是一個級數。

我們用 $T_{n}$ 表示數列中的項，其中 $n$ 是所討論的項的序號。例如，在上面描述的數列中，我們有 $T_{1}=2$，$T_{2}=4$，$T_{3}=6$，等等。

定義是告訴我們如何計算數列中每一項的規則。例如，上面數列的規則是 $T_{n}=2n$。關係描述了每一項與其他項之間的關係。例如，上面數列的一個關係是 $T_{n+1}=T_{n}+2$.

Sigma ($\Sigma$) 符號

正如你可能已經猜到，用一些項來描述一個級數並不總是好的選擇——如果使用的項太少，級數對你的讀者來說可能很模稜兩可；另一方面，你可能會因為寫出太多項而冒犯你的讀者！為了簡潔地表達一個級數，我們使用Sigma $(\Sigma )$ 符號。

一般來說，一個級數可以寫成$\sum _{k=k_{0}}^{N}f(k)$，表示“從$f(k_{0})$開始到包括$f(N)$的所有項的和”。因此，

$\sum _{k=k_{0}}^{N}f(k)=f(k_{0})+f(k_{0}+1)+f(k_{0}+2)+\cdots +f(N)$.

例如，級數 2+4+6+8+... 可以寫成$\sum _{k=1}^{\infty }2k$.

識別簡單級數

級數只是序列的另一個詞。在本模組中，您應該熟悉兩種非常常見的級數型別——等差級數和等比級數。

簡而言之，等差級數或AP是指一個序列，其中每個後續項都是前一項與一個固定值的和。等差級數的一個例子是 1,4,7,10,..., 其中後續項之間的差為 3。

等比級數或GP是指一個序列，其中每個後續項都是前一項與一個固定值的積。等比級數的一個例子是 2,4,8,16,32,..., 其中每個項都是前一項的兩倍。

等差級數 (AP)

等差級數 (AP) 可以用以下方式表示：$a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\ldots$，其中 $a,d$ 是常數。AP 中的第一項 $T_{1}$ 用 $a$ 表示，後續項之間的公差用 $d$ 表示。因此，級數 1,4,7,10,..., 是一個等差級數，其中 $a=1$ 且 $d=3$.

規則

公差 $d$ 可以透過 $d=T_{n}-T_{n-1}$ 計算，其中 $n=2,3,4,...$。

第 $n$ 項由 $T_{n}=a+(n-1)d$ 給出。

等差數列 (首項為 $T_{1}$，末項為 $T_{n}$) 前 $n$ 項的和由 $S_{n}={\frac {n}{2}}(T_{1}+T_{n})={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)$ 給出。

事實上，更一般地，等差數列中連續 $n$ 項的和由 ${\frac {\mathrm {number\,of\,terms} }{2}}(\mathrm {first\,term} +\mathrm {last\,term} )$ 給出。

示例

偶數 2, 4, 6, 8, ..., 100 的和是多少？

給定的序列可以表示為一個等差數列，其中 $T_{1}=a=2$，以及 $d=2$。我們想要這個等差數列前 50 項的和。

$S_{50}={\frac {50}{2}}(2+100)={\frac {50}{2}}\left(2(2)+(50-1)2\right)=2550$.

等比數列 (GP)

等比數列 (GP) 是一個可以寫成以下形式的序列：$a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},\ldots$，其中 $a,r$ 是常數。等比數列的第一個項 $T_{1}$ 用 $a$ 表示，相鄰項之間的**公比**用 $r$ 表示。

規則

公比 $r$ 可以透過 $r={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}$ 計算，其中 $n=2,3,4,...$。

第 $n$ 項由 $T_{n}=ar^{n-1}$ 給出。

等比數列前 $n$ 項的和由 $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ 給出。

證明如下：

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{n-1}$

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots +ar^{n}$

$S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}$

$S_{n}(1-r)=a(1-r^{n})$

$S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

無窮等比數列的和

我們說等比數列 $\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots$ 是收斂的，如果無窮級數之和 $S_{\infty }$ 趨近於某個極限。 這種情況發生在 $|r|<1$ 時。 因此，如果 $|r|<1$，那麼

$S_{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}$.

證明如下：

$S_{\infty }=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...$

$rS_{\infty }=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...$

$S_{\infty }-rS_{\infty }=a$

$S_{\infty }(1-r)=a$

$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

二項式表示式

二項式是具有兩個部分的多項式，形式為 $(a+b)$，例如 $(x+1)$。 當二項式被提升到某個冪時，可以透過多次展開括號來簡化它。 展開的

$(x+1)$ 的展開式

以下是 $x+1$ 被提升到不同冪時的展開式。

$(x+1)^{1}=$	$1x+1$
$(x+1)^{2}=$	$1x^{2}+2x+1$
$(x+1)^{3}=$	$1x^{3}+3x^{2}+3x+1$
$(x+1)^{4}=$	$1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$
$(x+1)^{5}=$	$1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1$

如果你仔細觀察每一項的係數，你可能會注意到一個規律。這些數字被稱為**二項式係數**，它們可以透過將上面的兩個數字加起來得到。

帕斯卡三角形

二項式係數更常被稱為**帕斯卡三角形**，以布萊茲·帕斯卡的名字命名。

以下是帕斯卡三角形的前10行

                                       (1)
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

由於每個數字都是透過將上面的兩個數字相加得到的，因此可以透過找到三角形的幾行來幫助你展開二項式。對於冪大於10的二項式，你應該使用二項式係數公式。

二項式係數公式

當二項式被提高到很大的冪時，透過寫出帕斯卡三角形來找到二項式係數可能太耗時了。幸運的是，有一個公式可以找到帕斯卡三角形的任何一行。

如果$n$ 是展開的冪，而$r$ 是單行中項的編號，則二項式係數公式為

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

$!$ 表示**階乘**，它將$n$ 乘以小於它本身的所有整數，一直到1。

所以$3!=3\times 2\times 1=6$.

要找到二項式係數，您可以使用公式，其中包含所需的值 $n$ 以及 $r=0$、$r=1$、$r=2$，依此類推，直到 $r=n$。

大多數科學計算器將有兩個按鈕在此過程中很有用，一個是階乘按鈕，通常標記為 n!，另一個實際上會找到 ${n \choose r}$，並且通常標記為 nCr 或 $C_{r}^{n}$。（C 代表“選擇”或“組合”，這是基於公式在機率中的使用。）

您應該注意，帕斯卡三角形是對稱的，因此一旦係數重複，您就可以輕鬆地寫下其餘係數。

展開二項式

現在您已經知道如何在二項式展開中找到係數，您可以透過遵循以下簡單步驟輕鬆展開任何被提升到正整數的二項式

對於形式為 $(a+b)^{n}$ 的二項式，

1. 寫下 $a$ 的降冪，從 $n$ 到 $0$
2. 寫下 $b$ 的升冪，從 $0$ 到 $n$，確保您放置的項使冪相加為 $n$
3. 將二項式係數新增到每一項，無論是來自帕斯卡三角形的第 $n$ 行（忽略頂部的 1），還是使用二項式係數公式。

然後在必要時進行簡化。

例如，對於 $(x+2)^{4}$ 的展開

$x$ 按降序排列：$x^{4}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{1}$ $+$ $x^{0}$

$2$ 按升序排列：$2^{0}$ $+$ $2^{1}$ $+$ $2^{2}$ $+$ $2^{3}$ $+$ $2^{4}$

將所有內容組合在一起，我們現在有

$x^{4}$$2^{0}$ $+$ $x^{3}$$2^{1}$ $+$ $x^{2}$$2^{2}$ $+$ $x^{1}$$2^{3}$ $+$ $x^{0}$$2^{4}$

新增二項式係數

$1x^{4}$$2^{0}$ $+$ $4x^{3}$$2^{1}$ $+$ $6x^{2}$$2^{2}$ $+$ $4x^{1}$$2^{3}$ $+$ $1x^{0}$$2^{4}$

最後簡化後會得到

$x^{4}$ $+$ $8x^{3}$ $+$ $24x^{2}$ $+$ $32x^{1}$ $+$ $16 $

此過程總結在被稱為二項式定理的方程中

$(x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}$

如果您不熟悉求和符號，這意味著

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}$

可以做一些簡化，但沒有必要記住它們，因為你會自動學會它們： $(x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}$

這是C2（核心數學 2）模組的一部分，該模組屬於A-level 數學文字。

多項式除法和因式分解 / 數列與級數 / 對數和指數 / 圓和角 / 積分

附錄 A：公式