A-level 數學/OCR/C2/附錄 A：公式

在本模組結束時，您應該掌握以下公式

多項式除法和因式分解

餘數定理

如果您有一個多項式 f(x) 除以 x - c，餘數等於 f(c)。請注意，如果方程是 x + c，則需要取 c 的負值：f(-c)。

因式定理

當且僅當 f(c) = 0 時，多項式 f(x) 具有因式 x - c。請注意，如果方程是 x + c，則需要取 c 的負值：f(-c)。

指數和對數函式公式

指數定律

$b^{x}b^{y}=b^{x+y}\,$
${\frac {b^{x}}{b^{y}}}=b^{x-y}$
$\left(b^{x}\right)^{y}=b^{xy}$
$a^{n}b^{n}=\left(ab\right)^{n}\,$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$
$b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$
$b^{\frac {c}{x}}=\left({\sqrt[{x}]{b}}\right)^{c}$ 其中 c 是一個常數
$b^{1}=b\,$
$b^{0}=1\,$

對數函式

的逆為 $y=b^{x}\,$ 是 $x=b^{y}\,$ ，這等同於 $y=\log _{b}x\,$

底數轉換規則： $\log _{a}x\,$ 可以寫成 ${\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}$

對數函式定律

當 X 和 Y 為正數時。

$\log _{b}XY=\log _{b}X+\log _{b}Y\,$
$\log _{b}{\frac {X}{Y}}=\log _{b}X-\log _{b}Y\,$
$\log _{b}X^{k}=k\log _{b}X\,$

圓形和角度

將度分秒轉換為十進位制

$X+{\frac {Y}{60}}+{\frac {Z}{3600}}$ 其中 X 是度，y 是分，z 是秒。

弧長

$s=\theta r\,$ 注意：θ 必須用弧度表示。

扇形面積

$Area={\frac {1}{2}}r^{2}\theta$ 注意：θ 必須用弧度表示。

三角函式

一個角的三角函式比

函式	書寫形式	定義	反函式	書寫形式	等價於
餘弦	$\cos \theta \,$	${\frac {Adjacent}{Hypotenuse}}$	$\arccos \theta \,$	$\cos ^{-1}\theta \,$	$x=\cos \ y\,$
正弦	$\sin \theta \,$	${\frac {Opposite}{Hypotenuse}}$	$\arcsin \theta \,$	$\sin ^{-1}\theta \,$	$x=\sin \ y\,$
正切	$\tan \theta \,$	${\frac {Opposite}{Adjacent}}$	$\arctan \theta \,$	$\tan ^{-1}\theta \,$	$x=\tan \ y\,$

重要的三角函式值

你需要記住這些值。

$\theta \,$	$rad\,$	$\sin \theta \,$	$\cos \theta \,$	$\tan \theta \,$
$0^{\circ }$	0	0	1	0
$30^{\circ }$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$
$45^{\circ }$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$
$60^{\circ }$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}$	${\sqrt {3}}$
$90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}$	1	0	-

餘弦定理

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,$

正弦定理

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

三角形面積

$Area={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \,$

$Area={\frac {1}{2}}ac\sin \beta \,$

$Area={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \,$

三角恆等式

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$

$tan\theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

積分

積分規則

我們在計算積分時新增 + C 的原因是，常數的導數為零，因此我們在計算積分時有一個未知的常數。 $\int x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C,\ (n\neq -1)$

$\int kx^{n}\,dx=k\int x^{n}\,dx$

$\int \left\{f^{'}(x)+g^{'}(x)\right\}\,dx=f(x)+g(x)+C$

$\int \left\{f^{'}(x)-g^{'}(x)\right\}\,dx=f(x)-g(x)+C$

定積分規則

$\int _{a}^{b}f\left(x\right)\ dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ ，F 是 f 的反導數，使得 F' = f
$\int _{a}^{b}f\left(x\right)\ dx=-\int _{b}^{a}f\left(x\right)\ dx$
$\int _{a}^{a}f\left(x\right)\ dx=0$
曲線與x軸之間的面積為 $\int _{a}^{b}y\,dx\ ({\mbox{for}}\ y\geq 0)$