A-level 數學/OCR/C2/圓和角

角度測量和圓形扇形

圓形的一部分被稱為扇形。扇形的一側是半徑。包含在扇形中的圓周的一部分被稱為弧。

角度度

一個圓有 360 度。每個度可以有 60 分（表示為 '），每分鐘可以有 60 秒（表示為 "）。由於我們不能直接將分鐘或秒轉換為弧度，因此我們需要將分鐘和秒轉換為十進位制數。以下是公式

將 $X^{\circ }$ Y' Z" 轉換為度數。

$X+\left(Y\times {\frac {1}{60}}\right)+\left(Z\times {\frac {1}{3600}}\right)=X+{\frac {Y}{60}}+{\frac {Z}{3600}}$

舉個實際例子，將 $23^{\circ }$ 18' 38" 轉換為度數。

$23+{\frac {18}{60}}+{\frac {38}{3600}}=23.3106$

角度弧度

弧度是圓心角的度數，該圓心角所對的圓弧長度等於圓的半徑。由於我們知道圓的周長公式是 $C=2\pi r$，我們可以確定一個圓中有 $2\pi$ 弧度。我們將弧度縮寫為 rad。

度和弧度之間的轉換

數學要求我們對大多數角度測量使用弧度。因此，我們需要知道如何將度數轉換為弧度，因為我們知道一個圓有 $360^{\circ }$ 度或 $2\pi$ 弧度。我們可以確定以下等式：$1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}$

$1\ radian={\frac {180}{\pi }}$

因此我們可以寫出這些一般公式。

$X^{\circ }={\frac {X\times \pi }{180}}$

$X\ radian\left(s\right)={\frac {X\times 180}{\pi }}$

以下是如何將 $20^{\circ }$ 轉換為弧度

$20^{\circ }={\frac {20\times \pi }{180}}={\frac {1}{9}}\pi \ rad$

將 ${\frac {1}{9}}\pi$ 轉換為度數。

${\frac {1}{9}}\pi \ radian\left(s\right)={\frac {{\frac {1}{9}}\pi \times 180}{\pi }}=20^{\circ }$

弧長

在大多數情況下，很難用尺子測量弧長。因此，我們需要使用公式來確定弧長。我們使用的公式是

$Arc\ Length=(\theta \ in\ radians)(radius)\,$ 用符號表示為 $s=\theta r\,$。注意：θ 必須以弧度表示。

以下是一個例子，確定一個半徑為 6 釐米、角度為 $53^{\circ }$ 的扇形所形成的弧長。

首先我們需要將 θ 從度數轉換為弧度。

$53^{\circ }={\frac {53\pi }{180}}rad$

現在我們可以計算弧長。

$s={\frac {53\pi }{180}}\times 6\approx 5.55cm$

扇形面積

扇形面積可以使用以下公式求得：

$Area={\frac {1}{2}}r^{2}\theta$ 注意：θ 必須以弧度表示。

計算一個半徑為 3 釐米、角度為 2π 的扇形面積。

$Area={\frac {1}{2}}3^{2}\times 2\pi \approx 28.3cm^{2}$

這是 C2（核心數學 2）模組中 A-level 數學 文字的一部分。

多項式除法和因式分解 / 數列和級數 / 對數和指數 / 圓和角 / 積分

附錄 A：公式