A-level 數學/OCR/C2/多項式除法與因式分解

餘數定理

餘數定理指出：如果有一個多項式 f(x) 除以 x + c，那麼餘數等於 f(-c)。下面是一個例子。

當 $x^{3}+8x^{2}-4x^{2}+17x-40$ 除以 x - 3 時，餘數是多少？

$f(3)=3^{3}+8\left(3\right)^{2}-4\left(3\right)^{2}+17\left(3\right)-40=74$

餘數是 74。

當您對一個方程式進行因式分解時，您試圖“取消乘法”。N 根定理指出，如果 f(x) 是一個大於或等於 1 的多項式，那麼 f(x) 恰好有 n 個根，前提是多重根 k 被計算了 k 次。最後部分意味著，如果一個方程式有 2 個根，它們都是 6，那麼我們把 6 算作 2 個根。

因式定理允許我們檢查一個數是否是因數。它指出

一個多項式

f(x)

有一個因式 x - c 當且僅當

f(c)=0

.

例如

確定 x + 2 是否是 $2x^{2}+3x-2$ 的因數。

由於 c 為正而不是負，我們需要使用這個基本恆等式

$x+2=x-\left(-2\right)$

現在我們可以使用因式定理。

$2\left(-2\right)^{2}+3\left(-2\right)-2=8-6-2=0$ .

由於結果為 0，因此 (x+2) 是 $2x^{2}+3x-2$ 的因數。

這意味著可以將多項式重新表示為 (x+2)(x 的某個線性表示式)。

所以 $2x^{2}+3x-2$ = (x+2)(ax+b)

展開右側得到

$2x^{2}+3x-2$ = $ax^{2}+x(2a+b)+2b$

等式同類項得到

2= a

2a+b = 3 並且

2b = -2

從第一個和第三個方程式得到 a= 2，b= -1，這在第二個方程式中也適用，因此

$2x^{2}+3x-2$ = (x+2)(2x-1)

這是 C2 （核心數學 2）模組的 A-level 數學文字的一部分。