A-level 數學/OCR/M3/圓周運動

運動的一般方程

考慮一個在半徑為 $r$ 的圓形軌道上運動的粒子，圓心位於原點 O。

令 $\mathbf {r}$ 表示粒子的位移。使用角位移 $\theta$ （從正 $x$ 軸測量）作為引數，我們有

$\mathbf {r} =r\left[{\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{matrix}}\right]$ .

為了獲得粒子的速度 ${\dot {\mathbf {r} }}$ ，我們對 $\mathbf {r}$ 關於時間 $t$ 進行求導。應用鏈式法則，我們有

${\dot {\mathbf {r} }}$	$={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$
	$={\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}$
	$=\left(r{\frac {d}{d\theta }}\left[{\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{matrix}}\right]\right)\left({\dot {\theta }}\right)$
	$=r{\dot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]$

為了確定粒子的加速度 ${\ddot {\mathbf {r} }}$ ，我們對 ${\dot {\mathbf {r} }}$ 關於 $t$ 求導，得到

${\ddot {\mathbf {r} }}$	$={\frac {d{\dot {\mathbf {r} }}}{dt}}$
	$={\frac {d{\dot {\mathbf {r} }}}{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}$
	$=\left(r{\frac {d}{d\theta }}\left\{{\dot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]\right\}\right)\left({\dot {\theta }}\right)$
	$=r{\dot {\theta }}\left({\dot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\cos \theta \\-\sin \theta \end{matrix}}\right]+{\ddot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]\right)$
	$=-r{\dot {\theta }}^{2}\left[{\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{matrix}}\right]+r{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]$

總結

為了簡化我們的表示式，我們引入單位向量 ${\hat {\mathbf {r} }}=\left[{\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{matrix}}\right]$ ，以及 ${\hat {\mathbf {n} }}=\left[{\begin{matrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right]$ 。觀察到 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 垂直於 ${\hat {\mathbf {n} }}$ ，因為 ${\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0$ 。

從上面的推導，我們得到以下結論

位移 $\mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}$
速度 ${\dot {\mathbf {r} }}=r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {n} }}$
加速度 ${\ddot {\mathbf {r} }}=-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}{\hat {\mathbf {n} }}$