A-level 數學/OCR/M3/彈性繩和彈簧

胡克定律和彈性模量

自然長度是指彈性繩或彈簧未受拉伸或壓縮時的長度。當彈性繩或彈簧的長度大於自然長度時，會產生張力。此外，當彈簧的長度小於自然長度時，會產生壓縮力。為了簡化我們的分析，我們使用張力一詞來指代這兩種型別的力（即張力和壓縮力）。此外，我們使用伸長量來指代繩或彈簧長度的變化。因此，壓縮彈簧的伸長量為負。

根據胡克定律，伸長量 $x$ 與作用在彈性繩或彈簧上的張力 $T$ 成正比。儘管胡克定律僅在彈性極限內成立，但除非另有說明，否則我們可以安全地假設其適用性。我們可以根據自然長度 $l$ 和彈性模量 $\lambda$ （它是彈性繩或彈簧的屬性，與長度無關）寫出如下關係式

T={\frac {\lambda }{l}}x

請注意，張力和伸長量方向相同（即變數要麼都為正，要麼都為負）。這應該是直觀的，因為我們考慮的是作用在彈性繩或彈簧上的力（即不是由彈性繩或彈簧施加的力）。

如果連線在彈性繩或彈簧末端的質量產生了伸長量，那麼根據牛頓第三定律，彈性繩或彈簧對質量施加的力大小相等，方向相反於其張力。為了說明這一點，讓我們考慮右側的系統。

考慮一個質量為 $m$ 的粒子P，它垂直懸掛在自然長度為 $l$ 、彈性模量為 $\lambda$ 的輕質（即無質量）彈性繩的一端。繩的另一端固定在固定點O上。當粒子處於靜止狀態時，根據牛頓第二定律，作用在其上的合力為零。因此，粒子的向下重力應與繩子向上作用在粒子上的力（其大小等於繩子的張力）相平衡。

	$mg$	$=T$
$\Rightarrow$	$mg$	$={\frac {\lambda }{l}}x$
$\Rightarrow$	$x$	$={\frac {mgl}{\lambda }}$ ，這是繩子相應的伸長量。

彈性勢能

彈性繩或彈簧在伸長（彈簧的情況下也包括壓縮）時能夠儲存能量。這種儲存的能量稱為彈性勢能 (EPE)。彈性繩或彈簧中的彈性勢能是由產生所需伸長的功（由外力作用產生）轉換而來的。這僅僅是克服彈性繩或彈簧由於其張力而施加的力的功。因此，彈性勢能可以透過對張力 $T$ 關於伸長量 $x$ 進行積分來確定。

$\mathrm {EPE}$	$=$ 產生伸長量 $x$ 所做的功
	$=\int _{0}^{x}T\,dy$
	$=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{l}}y\,dy$
	$={\frac {\lambda }{l}}\left[{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{0}^{x}$

\Rightarrow

\mathrm {EPE} ={\frac {\lambda }{2l}}x^{2}

總結