A 級物理學（高階物理學）/玻爾茲曼因子

氣體中的粒子由於彼此之間的碰撞而隨機地失去和獲得能量。 平均而言，對於大量的粒子，具有至少一定能量 ε 的粒子的比例是恆定的。 這被稱為玻爾茲曼因子。 它是一個介於 0 到 1 之間的值。 玻爾茲曼因子由以下公式給出

${\frac {n}{n_{0}}}=e^{\frac {-\epsilon }{kT}}$,

其中 n 是動能高於能量水平 ε 的粒子數量，n₀ 是氣體中粒子的總數，T 是氣體的溫度（以開爾文為單位），k 是玻爾茲曼常數（1.38 x 10⁻²³ JK⁻¹）。

這種能量可以是粒子可能具有的任何型別的能量 - 例如，它可以是重力勢能或動能。

推導

在大氣中，粒子受到重力向下拉。 由於彼此之間的碰撞，它們獲得和失去重力勢能 (mgh)。 首先，讓我們考慮一小塊大氣。 它具有水平橫截面積 A，高度 dh，分子密度（每單位體積的分子數）n，並且所有分子都具有質量 m。 令塊中的粒子數為 N。

$n={\frac {N}{V}}={\frac {N}{A\;dh}}$

所以

$V=A\;dh$（如果你仔細想想，這是有道理的）

根據定義

$N=nV=nA\;dh$

總質量 Σ m 是單個分子的質量 (m) 乘以分子數量 (N)

$\Sigma m=mN=mnA\;dh$

然後計算塊的重量

$W=g\Sigma m=nmgA\;dh$

向下的壓力 P 是每單位面積的力，因此

$P={\frac {W}{A}}={\frac {nmgA\;dh}{A}}=nmg\;dh$

我們知道，當我們在大氣中上升時，壓力會下降。 因此，在我們的小塊中，存在由以下公式給出的壓力差 dP

$dP=-nmg\;dh$（1）換句話說，壓力正在下降 (-)，它是這一小塊大氣重量的結果。

我們也知道

$PV=NkT$

所以

$P={\frac {NkT}{V}}$

但是

$n={\frac {N}{V}}$

所以，透過替換

$P=nkT$

所以，對於我們的小塊

$dP=kT\;dn$ (2)

如果我們將 (1) 和 (2) 等同

$dP=-nmg\;dh=kT\;dn$

重新排列以獲得

${\frac {dn}{dh}}={\frac {-nmg}{kT}}$

${\frac {dh}{dn}}={\frac {-kT}{nmg}}$

在 n₀ 和 n 的極限之間積分

$h={\frac {-kT}{mg}}\int _{n_{0}}^{n}{\frac {1}{n}}\;dn={\frac {-kT}{mg}}\left[\ln {n}\right]_{n_{0}}^{n}={\frac {-kT}{mg}}\left(\ln {n}-\ln {n_{0}}\right)={\frac {-kT}{mg}}\ln {\frac {n}{n_{0}}}$

$ln{\frac {n}{n_{0}}}={\frac {-mgh}{kT}}$

${\frac {n}{n_{0}}}=e^{\frac {-mgh}{kT}}$

由於我們正在處理重力勢能，ε = mgh，所以

${\frac {n}{n_{0}}}=e^{\frac {-\epsilon }{kT}}$

此函式的圖表

此主題在 2010 年 6 月 Q10 494 中出現。該問題中使用的各種值的數值為

$k=1.4\times 10^{-23}JK^{-1},~g=9.8,~m=4.9\times 10^{-26}Kg,~T=290K$

顯示如何透過高度獲得能量

問題

1u = 1.66 x 10⁻²⁷ kg

g = 9.81 ms⁻²

$k=1.38\times 10^{-23}$

1. 氮氣分子的分子量為 28u。如果地球大氣層是 100% 氮氣，溫度為 18 °C，那麼有多少比例的氮氣分子能達到 2 km 的高度？

2. 在 0 °C 下，一箱氫氣（分子量為 2u）中，有多少比例的分子速度大於 5ms⁻¹？

3. 如果一半的氫氣以至少 10ms⁻¹ 的速度運動，那麼氫氣的溫度是多少？

4. 一些電離的氫氣（電荷 -1.6 x 10⁻¹⁹ C）放置在均勻的電場中。兩極板之間的電位差為 20V，兩極板之間的距離為 1m。在 350°K 的情況下，有多少比例的分子距離正極板至少 0.5m（忽略重力）？

解題步驟