A-level 物理（進階物理）/ 玻爾茲曼因子/ 習題解答

1u = 1.66 x 10⁻²⁷ kg

g = 9.81 ms⁻²

1. 氮氣分子的分子量為 28u。如果地球大氣層是 100% 的氮氣，溫度為 18 °C，有多少比例的氮氣分子達到 2 km 的高度？

$\epsilon =mgh=28\times 1.66\times 10^{-27}\times 9.81\times 2000=9.12\times 10^{-22}{\mbox{ J}}$

${\frac {n}{n_{0}}}=e^{\frac {-9.12\times 10^{-22}}{1.38\times 10^{-23}\times 291}}=0.797$

因此，79.7% 的氮氣分子達到至少 2 km 的高度。

2. 在一個裝有氫氣（分子量 2u）的盒子裡，溫度為 0 °C，有多少比例的分子速度大於 5ms⁻¹？

$\epsilon ={\frac {1}{2}}mv^{2}=0.5\times 2\times 1.66\times 10^{-27}\times 5^{2}=4.15\times 10^{-26}{\mbox{ J}}$

${\frac {n}{n_{0}}}=e^{\frac {-4.15\times 10^{-26}}{1.38\times 10^{-23}\times 273}}=0.99999$

（實際上所有分子都是）

3. 如果一半的氫氣分子速度至少為 10ms⁻¹，那麼氫氣的溫度是多少？

$\epsilon ={\frac {1}{2}}mv^{2}=0.5\times 2\times 1.66\times 10^{-27}\times 10^{2}=1.66\times 10^{-25}{\mbox{ J}}$

$0.5=e^{\frac {-\epsilon }{kT}}$

$\ln {0.5}=-\ln {2}={\frac {-\epsilon }{kT}}$

$T={\frac {\epsilon }{k\ln {2}}}={\frac {1.66\times 10^{-25}}{1.38\times 10^{-23}\times \ln {2}}}=0.0174{\mbox{ K}}$

（幾乎是絕對零度）

4. 一些電離的氫氣（電荷 -1.6 x 10⁻¹⁹ C）被放置在均勻的電場中。兩極板之間的電勢差為 20V，距離為 1m。在 350°K 的情況下，有多少比例的分子距離正極板至少 0.5m（忽略重力）？

$\epsilon =0.5\times 20\times 1.6\times 10^{-19}=1.6\times 10^{-18}{\mbox{ J}}$

${\frac {n}{n_{0}}}=e^{\frac {-1.6\times 10^{-18}}{1.38\times 10^{-23}\times 350}}\approx 0$

它們都會飛到正極板上。