A-level 物理 (進階物理)/電容器/習題解答

1. 一個 2 mF 的電容器連線到一個 10V 的直流電源。電容器能儲存多少電荷？

$Q=CV=2\times 10^{-3}\times 10=0.02{\mbox{ C}}$

請注意，這是最大電荷量 - 由於電容器是呈指數形式充放電的，我們需要無限長的時間才能將它充滿電。

2. 這個電容器儲存的最高能量是多少？

$E={\frac {1}{2}}QV=0.5\times 0.02\times 10=0.1{\mbox{ J}}$

3. 電容器與一個 5Ω 的電阻串聯並充滿電。電容器中的電荷量要減小到 1 mC 需要多長時間？

$Q=Q_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}$

$Q_{0}=Qe^{\frac {t}{RC}}$

$e^{\frac {t}{RC}}={\frac {Q_{0}}{Q}}$

${\frac {t}{RC}}=\ln {\frac {Q_{0}}{Q}}$

$t=RC\ln {\frac {Q_{0}}{Q}}=5\times 0.002\times \ln {\frac {0.02}{0.001}}=0.0300{\mbox{ s}}$

4. 在這段時間過去後，電容器儲存的能量是多少？

$E={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}Q_{0}V_{0}e^{-{\frac {2t}{RC}}}=0.5\times 0.02\times 10\times e^{-{\frac {2\times 0.03}{5\times 0.002}}}=0.25\;m{\mbox{J}}$

5. 以下電容器網路的等效電容是多少？

首先，忽略電容是 mF 而不是 F 的事實 - 我們不會使用其他單位，所以如果我們輸入 mF，我們就會得到 mF。

然後計算第二行的等效電容。

${\frac {1}{\Sigma C_{2}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {11}{6}}$

$\Sigma C_{2}={\frac {6}{11}}{\mbox{ mF}}$

然後計算第三行的等效電容。

${\frac {1}{\Sigma C_{3}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1$

$\Sigma C_{3}=1{\mbox{ mF}}$

第一行的等效電容很容易計算，因為它只有一個電容器：3mF。所以，總的等效電容是

$\Sigma C=3+{\frac {6}{11}}+1={\frac {50}{11}}\approx 4.55{\mbox{ mF}}$