A-level 物理學（進階物理學）/圓周運動/解答

1. 一個質量為 10 克的網球被系在 0.75 米長的繩子上，並以 1.5 Hz 的頻率在某人的頭頂上繞圈旋轉。繩子的張力是多少？

$\omega =2\pi f=2\pi \times 1.5=3\pi {\mbox{ rad s}}^{-1}$

$F=T=m\omega ^{2}r=0.01\times (3\pi )^{2}\times 0.75=0.0675\pi ^{2}=0.666{\mbox{ N}}$

2. 一顆行星繞著一顆恆星做圓周運動。它的公轉週期是 100 個地球年，從恆星到行星的距離是 70 Gm。恆星的質量是多少？

100 年 = 100 x 365.24 x 24 x 60 x 60 = 3155673600 秒

$f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{3155673600}}=3.17\times 10^{-10}{\mbox{ Hz}}$

$\omega =2\pi f=2\pi \times 3.17\times 10^{-10}=1.99{\mbox{ nrad s}}^{-1}$

${\frac {GM}{r^{2}}}=\omega ^{2}r$

$M={\frac {\omega ^{2}r^{3}}{G}}={\frac {(1.99\times 10^{-9})^{2}\times (70\times 10^{9})^{3}}{6.67\times 10^{-11}}}=2.04\times 10^{25}{\mbox{ kg}}$

3. 一輛 2000 公斤的汽車以 20 公里/小時的速度轉彎，轉彎是一個圓弧。由於摩擦產生的向心力是汽車重量的 1.5 倍。轉彎的半徑是多少？

20 公里/小時 = 20000 / 3600 = 5.56 米/秒

$W=2000\times 9.81=19620{\mbox{ N}}$

$F_{r}=1.5\times 19620=29430{\mbox{ N}}$

$29430={\frac {mv^{2}}{r}}={\frac {2000\times 5.56^{2}}{r}}={\frac {61728}{r}}$

$r={\frac {61728}{29430}}=2.1{\mbox{ m}}$

我知道這有點不切實際...

4. 使用向心加速度和引力場強度的公式，以及角速度的定義，推匯出一個將行星的軌道週期與其軌道半徑聯絡起來的方程。

$\omega ^{2}r={\frac {GM_{star}}{r^{2}}}$

$\omega ^{2}r^{3}=GM_{star}$

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$

${\frac {4\pi ^{2}r^{3}}{T^{2}}}=GM_{star}$

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{3}}{GM_{star}}}$

因此，軌道週期的平方與軌道半徑的立方成正比。順便說一句，這就是開普勒第三定律在圓形軌道上的特例（圓是一種橢圓）。