A-level 物理學 (高階物理)/動量守恆/解答

1. 一個質量為 0.5 kg 的球以 3ms⁻¹ 的速度與一個靜止的質量為 0.6 kg 的球碰撞。如果靜止的球以 2ms⁻¹ 的速度飛出，那麼第一個球的新速度是多少？

$0.5\times 3=0.5v+(0.6\times 2)$

$1.5=0.5v+1.2$

$0.5v=0.3$

$v=0.6{\mbox{ ms}}^{-1}$

2. 兩個球沿相反方向運動，速度分別為 5ms⁻¹ 和 10ms⁻¹。它們發生碰撞，並沿相反方向以 7.5ms⁻¹ 的新速度飛出。如果第一個球的質量為 1.25 kg，那麼第二個球的質量是多少？

$(5\times 1.25)+(-10m)=(-7.5\times 1.25)+(7.5m)$

$6.25-10m=7.5m-9.375$

$17.5m=15.625$

$m=0.893{\mbox{ kg}}$

3. 兩個質量相等的球發生完全彈性碰撞。其中一個球是靜止的。會發生什麼？

由於動量必須守恆

$mu=mv_{1}+mv_{2}$

$u=v_{1}+v_{2}$ (1)

由於動能必須守恆

${\frac {mu^{2}}{2}}={\frac {m{v_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {m{v_{2}}^{2}}{2}}$

$u^{2}={v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}$

將公式 (1) 中 u 的值代入

$(v_{1}+v_{2})^{2}={v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}$

${v_{1}}^{2}+2v_{1}v_{2}+{v_{2}}^{2}={v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}$

$2v_{1}v_{2}=0$

因此，v₁ 或 v₂ 為 0。根據公式 (1)，如果 v₁ 為零，則 v₂ = u，反之亦然。但是，v₁ 不能與 u 相同，因為這意味著第一個球必須穿過第二個球！因此，唯一的物理解是第一個球停止，第二個球繼續以第一個球的原始速度運動。

4. 一個粒子爆炸成兩個質量分別為 1 kg 和 2 kg 的粒子。1 kg 的粒子以 45 ms⁻¹ 的速度運動。另一個粒子以什麼速度運動？

$0=(1\times 45)+2v$

$2v=-45$

$v=-22.5{\mbox{ ms}}^{-1}$

即與 1 kg 粒子運動方向相反。

5. 一個 3 kg 的球以 3 ms⁻¹ 的速度運動，與一個 5 kg 的球以 -5 ms⁻¹ 的速度發生碰撞。碰撞是完全彈性的。這兩個球的新速度是多少？

由於動量必須守恆

$(3\times 3)+(5\times -5)=3v_{1}+5v_{2}=-16{\mbox{ kgms}}^{-1}$ (1)

由於動能必須守恆

${\frac {3\times 3^{2}}{2}}+{\frac {5\times (-5)^{2}}{2}}={\frac {3\times {v_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {5\times {v_{2}}^{2}}{2}}$

$3{v_{1}}^{2}+5{v_{2}}^{2}=152$

從 (1)

$v_{2}={\frac {-16-3v_{1}}{5}}$

$3{v_{1}}^{2}+5\left({\frac {-16-3v_{1}}{5}}\right)^{2}=152$

$3{v_{1}}^{2}+5\left({\frac {9{v_{1}}^{2}+96v_{1}+256}{25}}\right)=152$

$3{v_{1}}^{2}+{\frac {9{v_{1}}^{2}+96v_{1}+256}{5}}=152$

$15{v_{1}}^{2}+9{v_{1}}^{2}+96v_{1}+256=760$

$24{v_{1}}^{2}+96v_{1}-504=0$

${v_{1}}^{2}+4v_{1}-21=0$

$(v_{1}+7)(v_{1}-3)=0$

因此，v₁ 要麼為 -7，要麼為 3 ms⁻¹。

如果 v₁ = -7ms⁻¹，根據 (1)

$-21+5v_{2}=-16$

$5v_{2}=5$

$v_{2}=1{\mbox{ ms}}^{-1}$

如果 v₁ = 3ms⁻¹

$9+5v_{2}=-16$

$5v_{2}=-25$

$v_{2}=-5{\mbox{ ms}}^{-1}$

最後一個解是不符合物理實際的，因為它需要球體彼此穿過。因此，v₁ = -7ms⁻¹ 且 v₂ = 1ms⁻¹

6. 一個球與牆壁碰撞，並以相同的速度反彈。為什麼牆壁沒有移動？

設牆壁的質量為 M，球的質量為 m

$mu=Mv_{wall}-mu$

$2mu=Mv_{wall}$

$v_{wall}={\frac {2mu}{M}}$

牆壁的質量很大。當 M 趨於無窮大時，因此，v_wall 趨於 0。