A-level 物理 (高階物理)/能級/習題解答

下表列出了當電子在氫原子中按照第一行所述的能級之間躍遷時發出的光的波長。

n 的躍遷	3→2	4→2	5→2	6→2	7→2	8→2	9→2	∞→2
波長 (nm)	656.3	486.1	434.1	410.2	397.0	388.9	383.5	364.6
顏色	紅色	藍綠色	紫色	紫色	(紫外線)	(紫外線)	(紫外線)	(紫外線)

1. 計算 n=2 能級上電子的勢能。

$c=\lambda f$

$3\times 10^{8}=364.6\times 10^{-9}\times f$

$f=8.23\times 10^{14}{\mbox{ Hz}}$

$\Delta E=-hf=-6.63\times 10^{-34}\times 8.23\times 10^{14}=-5.46\times 10^{-19}{\mbox{ J}}=-3.41{\mbox{ eV}}$

2. 計算 n=2 和 n=3 能級之間的勢能差。

這一次，讓我們推匯出一個通用公式

$f={\frac {\Delta E}{h}}$

$c={\frac {\lambda \Delta E}{h}}$

$\Delta E={\frac {ch}{\lambda }}={\frac {3\times 10^{8}\times 6.63\times 10^{-34}}{656.3\times 10^{-9}}}=3.03\times 10^{-19}{\mbox{ J}}=1.89{\mbox{ eV}}$

3. n=3 能級上電子的勢能是多少？

$-3.41+1.89=-1.52{\mbox{ eV}}$

4. 如果一個電子從 n=7 躍遷到 n=5，發射的光子的波長是多少？

$\Delta E={\frac {ch}{\lambda _{5,2}}}-{\frac {ch}{\lambda _{7,2}}}=ch\left({\frac {1}{\lambda _{5,2}}}-{\frac {1}{\lambda _{7,2}}}\right)=3\times 10^{8}\times 6.63\times 10^{-34}\left({\frac {1}{434.1\times 10^{-9}}}-{\frac {1}{397\times 10^{-9}}}\right)=-4.28\times 10^{-20}{\mbox{ J}}$

$\lambda ={\frac {-ch}{\Delta E}}={\frac {3\times 10^{8}\times 6.63\times 10^{-34}}{4.28\times 10^{-20}}}=4.65{\mbox{ }}\mu {\mbox{m}}$

5. 證明從 n=4 到 n=2 的躍遷發出的光的波長為 486.1 nm（提示：$e=hf$ 和 $c=f\lambda$)

$13.6({\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}})=2.55eV$

$2.55eV={\frac {hc}{\lambda }}$ 因此 $\lambda ={\frac {hc}{2.55\times 1.6\times 10^{-}19}}=4.875\times 10^{-}7=488nm$