A 級物理學（高等物理學）/簡諧運動中的能量/習題解答

1. 一個 10 克的物體使彈簧伸長了 5 釐米。彈簧儲存了多少能量？

重力勢能完全轉換為彈性勢能

重力勢能 = 質量 x 重力 x 高度

GPE $=0.01m\times 0.05kg\times 9.8Nkg^{-1}=4.9\times 10^{-3}J$

2. 一個 500 克的物體在一個彈簧 (k=100) 上被拉伸了 0.2 米，並在一個空無一物的宇宙中開始振盪。它達到的最大速度是多少？

${\frac {1}{2}}mv_{max}^{2}={\frac {1}{2}}kx_{max}^{2}$

$v_{max}^{2}={\frac {kx_{max}^{2}}{m}}$

$v_{max}=x_{max}{\sqrt {\frac {k}{m}}}=0.2\times {\sqrt {\frac {100}{0.5}}}=2.83{\mbox{ ms}}^{-1}$

3. 另一個 500 克的物體在另一個彈簧上，在另一個空無一物的宇宙中被拉伸了 0.5 米，並開始振盪。如果它達到 15 米/秒的最大速度，彈簧的彈性係數是多少？

${\frac {1}{2}}mv_{max}^{2}={\frac {1}{2}}kx_{max}^{2}$

$k={\frac {mv_{max}^{2}}{x_{max}^{2}}}={\frac {0.5\times 15^{2}}{0.5^{2}}}=450{\mbox{ Nm}}^{-1}$

4. 繪製一個彈簧上物體的動能和彈性勢能圖（忽略重力）。

$E_{e}\propto \cos ^{2}\omega t$

$E_{k}\propto \sin ^{2}\omega t$

簡諧運動

5. 使用 x 和 v 的三角公式推匯出一個關於在彈簧上振盪的物體的總儲能的方程，忽略重力和空氣阻力，該能量相對於時間是恆定的。

$x=A\cos {\omega t}$

$v=-A\omega \sin {\omega t}$

將這些代入總能量方程

$\Sigma E={\frac {1}{2}}(kx^{2}+mv^{2})={\frac {1}{2}}(k(A\cos {\omega t})^{2}+m(-A\omega \sin {\omega t})^{2})={\frac {1}{2}}(kA^{2}\cos ^{2}{\omega t}+mA^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}{\omega t})={\frac {A^{2}}{2}}(k\cos ^{2}{\omega t}+m\omega ^{2}\sin ^{2}{\omega t})$

我們知道

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

因此

$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$

透過代入

$\Sigma E={\frac {A^{2}}{2}}(k\cos ^{2}{\omega t}+{\frac {mk}{m}}\sin ^{2}{\omega t})={\frac {A^{2}}{2}}(k\cos ^{2}{\omega t}+k\sin ^{2}{\omega t})={\frac {kA^{2}}{2}}(\cos ^{2}{\omega t}+\sin ^{2}{\omega t})={\frac {kA^{2}}{2}}$