A-level 物理 (高階物理)/指數關係

x = ae^bt 的圖形，其中 b 為正。

許多事物都受到指數關係的控制。我們將要處理的指數關係具有以下形式

$x=ae^{bt}$,

其中 t 為時間，x 為變數，a 和 b 為常數。e 只是一個數字，雖然是一個非常特殊的數字。它是一個無理常數，就像 π 一樣。e 20 位小數為 2.71828182845904523536。但是，只需在計算器上找到 e（或 exp）按鈕就容易多了。

e^t 的反函式是自然對數，記為 ln t

$\ln t=\log _{e}t$

x = e^-bt 的圖形，顯示了 b 的幾個不同值。

增長和衰減

當 b 為正時，指數函式迅速增加。這很好地代表了某些變數的增長。當 b 為負時，指數函式減小，在接近 t 軸時趨於平坦。這代表了某些變數的衰減。

現實世界中的指數關係

當變數的變化率取決於變數本身的值時，就會出現指數關係。你應該記住這個定義，並理解它。讓我們考慮一些例子

一個裝有細菌生長的培養皿。

人口增長

考慮一個裝滿瓊脂培養基（細菌的食物）的培養皿，裡面有一些細菌。這些細菌會繁殖，因此，隨著時間的推移，瓊脂培養基上的細菌數量會增加。但是，每個細菌都不關心周圍是否有其他細菌。它將以相同的速度繼續製造更多細菌。因此，隨著細菌總數的增加，它們的繁殖速度也會增加。這是一種具有正 b 值的指數關係。

當然，這個模型是有缺陷的，因為在現實中，細菌最終會吃掉所有的瓊脂培養基，因此關係將不再是指數關係。

清空水箱

如果你用一個大水箱裝滿水，然後在底部開個洞，一開始水會流得很快。但是，隨著水箱的清空，水的壓力會減小，因此流速也會減小。水箱中水量的變化率取決於水箱中的水量。這是一種具有負 b 值的指數關係 - 它是一種指數衰減。

冷卻

熱物體比溫物體冷卻得快。因此，當物體冷卻時，溫度從物體流出到周圍環境的速度會降低。牛頓將此表達為指數關係（稱為牛頓冷卻定律）

$T_{t}=T_{env}+(T_{0}-T_{env})e^{-rt}$,

其中 T_t 為 t 時刻的溫度，T₀ 為 t = 0 時刻的溫度，T_env 為冷卻物體周圍環境的溫度，r 為正常數。注意這裡 a 等於 (T₀ - T_env) - 但 a 仍然是常數，因為 T₀ 和 T_env 都是常數。r 前面的負號表明這是一個指數衰減 - 物體的溫度趨於環境溫度。我們新增 T_env 的原因僅僅是因為我們不希望溫度衰減到 0（無論我們使用什麼溫度單位）。相反，我們希望它衰減到環境溫度。

數學推導

我們已經說過，當變數的變化率取決於變數本身的值時，就會出現指數關係。如果我們將此轉化為代數，我們將得到以下結果

${\frac {dx}{dt}}\ =ax$ ，其中 a 為常數。

透過分離變數

$dx=axdt$

${\frac {1}{x}}dx=adt$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\int adt$

$\ln x=at+c$ （其中 c 為積分常數）

$x=e^{at+c}=e^{at}e^{c}$

如果我們令 b = e^c（b 是一個常數，因為 e^c 是一個常數）

$x=be^{at}$

問題

1. 簡化牛頓冷卻定律，適用於將一個溫熱的物體放入一個即將結冰的大水箱中的情況。溫度單位使用攝氏度。

2. 一個溫度為 40 °C 的物體在 30 秒後會是什麼溫度？（假設 r=10⁻³ s⁻¹。）

3. 一具屍體在圖書館被發現（如阿加莎·克里斯蒂的小說）。發現時間是早上 8 點。圖書館的溫度保持在 20 °C，持續了 10 分鐘。在這 10 分鐘內，屍體的溫度從 25 °C 降至 24 °C。健康人的體溫為 36.8 °C。請問該人是在什麼時候遇害的？

4. 假設華夏公益教科書上的頁面數量 p 可以用指數關係來建模。令吸引編輯所需的平均頁面數量為 a，而每個編輯每年建立的新頁面數量為 z。推匯出一個方程，用華夏公益教科書建立以來的年數 t 來表示 p。

5. 華夏公益教科書是在 2003 年年中建立的。6 年後應該有多少個頁面？（假設 a = 20，z = 10 yr⁻¹。）

6. 2009 年年中，華夏公益教科書上的實際頁面數量為 35,148。這個模型存在什麼問題？比如到 2103 年可能會出現什麼問題？

解答