A 級物理（高階物理）/指數關係/解答

1. 簡化牛頓冷卻定律，用於將一個溫暖的物體放入一個即將結冰的大水箱中的情況。用 °C 測量溫度。

牛頓冷卻定律指出 $T_{t}=T_{env}+(T_{0}-T_{env})e^{-rt}$

水的冰點是 0 °C，因此，如果我們用 °C 測量 T，則 T_env = 0

$T_{t}=0+(T_{0}-0)e^{-rt}$

$T_{t}=T_{0}e^{-rt}$

2. 一個溫度為 40 °C 的物體在 30 秒後會是什麼溫度？（取 r=10⁻³ s⁻¹。）

$T_{t}=T_{0}e^{-rt}=40\times e^{-10^{-3}\times 30}=38.8$ °C

3. 一具屍體在圖書館被發現（如阿加莎·克里斯蒂所述），時間是早上 8 點。圖書館的溫度保持在恆定的 20 °C，持續了 10 分鐘。在這 10 分鐘內，屍體的溫度從 25 °C 降至 24 °C。健康人體的體溫是 36.8 °C。受害者是在什麼時候遇害的？

首先，我們必須計算 r

$24=20+(25-20)e^{-10r}$

$4=5e^{-10r}$

$e^{-10r}=0.8$

$-10r=\ln {0.8}$

$r={\frac {\ln {0.8}}{-10}}=0.0223{\mbox{ minute}}^{-1}$

然後，計算 t - 這是謀殺時間和早上 8 點之間的時間

$25=20+(36.8-20)e^{-0.0223t}$

$5=16.8e^{-0.0223t}$

$e^{-0.0223t}={\frac {5}{16.8}}$

$-0.0223t=\ln {\frac {5}{16.8}}$

$t={\frac {\ln {\frac {5}{16.8}}}{-0.0223}}=54{\mbox{ minutes}}$

因此，謀殺發生在早上 7:06。

4. 假設華夏公益教科書上的頁面數 p 可以用指數關係來建模。設吸引一位編輯所需的平均頁面數為 a，而一位編輯每年平均建立的新頁面數為 z。推匯出一個表示式，用華夏公益教科書建立後的年數 t 來表示 p。

設 n 為編輯人數。

$n={\frac {p}{a}}$

${\frac {dp}{dt}}=nz=z{\frac {p}{a}}$

$dp=z{\frac {p}{a}}dt$

$\int {\frac {1}{p}}dp=\int {\frac {z}{a}}dt$

$\ln {p}={\frac {zt}{a}}+c$ （其中 c 是積分常數）

$p=e^{{\frac {zt}{a}}+c}=e^{\frac {zt}{a}}e^{c}=ke^{\frac {zt}{a}}$ （其中 k 是一個常數 - k = e^c）

一定有一頁是第一頁，它標誌著 t = 0 的時刻，所以

$1=ke^{{\frac {z}{a}}\times 0}=ke^{0}=k$

因此

$p=e^{\frac {zt}{a}}$

5. 華夏公益教科書創建於 2003 年中旬。六年後應該有多少頁？（取 a = 20，z = 10 yr⁻¹。）

$p=e^{\frac {zt}{a}}=e^{\frac {10\times 6}{20}}=e^{3}=20$

6. 2009 年中旬，華夏公益教科書的實際頁面數為 35,148 頁。這個模型有什麼問題？例如，到 2103 年，可能會出現什麼問題？

該模型有兩個關鍵問題

• 我們已經估算了常數的值。這些應該透過統計方法確定。
• 我們假設這些常數是恆定的。實際上，隨著華夏公益教科書內容的增加，越來越多的人認為“華夏公益教科書已經包含了這些內容，所以我不會新增任何內容”。這意味著 z 和 a 都會隨時間變化。我們的指數模型只適用於較短的時間段。每個時間段的常數值都不同。

在未來，例如 2103 年，這些常數將發生如此大的變化，以至於變得毫無用處。問題 5 展示了它們在短短 6 年內的變化程度——在整整一個世紀內，它們的變化程度一定更大！