A-level物理（高階物理）/萬有引力場/解答

G = 6.67 x 10⁻¹¹ m³kg⁻¹s⁻²

1. 一個15 kg的物體重量為8000N。此時重力場強度是多少？

$g={\frac {F_{grav}}{m}}={\frac {8000}{15}}=533{\mbox{ Nkg}}^{-1}$

2. 繪製重力場強度與距離的關係圖。

由於重力場強度與重力成正比，這兩個圖看起來非常相似。

3. 太陽（質量2 x 10³⁰kg）對地球（質量6 x 10²⁴kg，平均軌道半徑15 x 10¹⁰m）的重力場強度是多少？

$g={\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {6.67\times 10^{-11}\times 2\times 10^{30}}{(15\times 10^{10})^{2}}}=5.93{\mbox{ mNkg}}^{-1}$

4. 重力加速度在垂直距離d上的變化是多少？

$\Delta g={\frac {GM}{(r+d)^{2}}}-{\frac {GM}{r^{2}}}=GM\left({\frac {1}{(r+d)^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\right)={\frac {GM(r^{2}-(r+d)^{2})}{r^{2}(r+d)^{2}}}={\frac {GM(r^{2}-r^{2}-2rd-d^{2})}{r^{2}(r+d)^{2}}}={\frac {-GMd(2r+d)}{r^{2}(r+d)^{2}}}$

5. 從地球表面向上移動多遠才能注意到重力場強度1Nkg⁻¹的變化？（地球半徑為6400 km。）

$1={\frac {GMd(2r+d)}{r^{2}(r+d)^{2}}}$

$GMd(2r+d)=r^{2}(r+d)^{2}$

$2GMrd+GMd^{2}=r^{2}(r^{2}+2rd+d^{2})=r^{4}+2r^{3}d+r^{2}d^{2}$

$d^{2}(r^{2}-GM)+dr(2r^{2}-2GM)+r^{4}=0$

使用二次方程公式

$d={\frac {2GMr-2r^{3}\pm {\sqrt {r^{2}(2r^{2}-2GM)^{2}-4r^{4}(r^{2}-GM)}}}{2(r^{2}-GM)}}={\frac {2GMr-2r^{3}\pm {\sqrt {4r^{6}-8GMr^{4}+4G^{2}M^{2}r^{2}-4r^{6}+4GMr^{4}}}}{2(r^{2}-GM)}}$

$={\frac {2GMr-2r^{3}\pm r{\sqrt {4r^{4}-8GMr^{2}+4G^{2}M^{2}-4r^{4}+4GMr^{2}}}}{2(r^{2}-GM)}}$

這看起來很糟糕。如果你代入數值，你會得到

$d={\frac {4.598272\times 10^{2}1\pm 4.853341552\times 10^{21}}{-7.1848\times 10^{14}}}$

由於我們想要一個負的d（因為我們在一開始就忽略了減號）

$d={\frac {4.598272\times 10^{2}1+4.853341552\times 10^{21}}{-7.1848\times 10^{14}}}=-13155{\mbox{ km}}$

不過，我必須承認，這裡有很多出錯的可能性，所以這個答案几乎肯定是不正確的。如果你想仔細檢查一下，儘管來吧！

[*] 解答 

g'=g-1=9.8-1=8.8N/kg g=GM/(R+d)^2 => $(R+d)^{2}=GM/g'=>R+d=sqrt(GM/g')=>d=sqrt(GM/g')-R$
d=349.96 千米

--Sjlegg (討論) 2009年4月23日 (四) 14:18 (UTC)