A-level 物理學（進階物理學）/萬有引力

萬有引力的本質是一個深刻的問題。是什麼導致了萬有引力的產生，被認為是物理學中最大的謎團之一。我們都應該熟悉萬有引力使物體具有重量的事實，這就是為什麼蘋果會掉到地球上的原因。事實上，任何具有質量的物體都會對任何其他具有質量的物體施加萬有引力。地球對蘋果施加拉力，蘋果也同樣對地球施加拉力。

萬有引力不僅讓我們可以描述最終會落到地面的物體的運動軌跡。它還以驚人的精度描述了行星的運動。它可以預測太陽蝕的日期和時間，提前幾百年就可以預測。

因此，兩個物體之間的萬有引力公式為

$F_{grav}={\frac {GMm}{r^{2}}}$ ,

其中 r 是兩個球體之間的距離，G 是萬有引力常數。實驗表明 G = 6.67 x 10⁻¹¹ Nm²kg⁻²。

這個方程式更好地解釋了我們已經知道的一些事實。我們應該從 GCSE 科學中記住，力與距離的平方成反比。它解釋了為什麼隨著質量的增加，地球上的重量也會增加。

請注意，這個公式沒有說明萬有引力的來源。它只描述了萬有引力的作用。然而，它非常完美地描述了萬有引力。

萬有引力不僅僅是物體撞擊地球。然而，它確實與墜落有很大關係。

我們還應該意識到，從圓周運動中我們知道

$F={\frac {mv^{2}}{r}}$ ,

其中 F 是向心力，m 是物體的質量，r 是兩個物體之間的距離，v 是物體的速度，垂直於向心力，因此在軌道的任何一點都與軌道相切。

物體內部的萬有引力

在一個近似球形的物體（如地球）內部，可以通過幾何方法證明，由物體所在半徑以外所有質量產生的萬有引力的影響可以忽略不計，因為它們全部相互抵消了。因此，我們只需要考慮物體所在半徑內部的質量。物體的密度 ρ 由以下方程式給出

$\rho ={\frac {M}{V}}$ ,

其中 M 是質量，V 是體積。因此

$M=\rho V$

如果我們將球體的體積代入 V

$M={\frac {4}{3}}\pi \rho r^{3}$

如果我們將這個質量代入上面給出的萬有引力公式

$F_{grav}={\frac {-Gm{\frac {4}{3}}\pi \rho r^{3}}{r^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\rho mr$

換句話說，在均勻質量的球體內部，萬有引力與物體到球心距離成正比。順便說一下，這會導致一個簡單的簡諧振盪器，如右圖所示。這意味著萬有引力與距離球心距離的圖形，在一個密度均勻的球體中是這樣的

1. 木星繞太陽執行的半徑約為 7.8 x 10¹¹m。木星的質量為 1.9 x 10²⁷kg，太陽的質量為 2.0 x 10³⁰kg。作用在木星上的萬有引力是多少？作用在太陽上的萬有引力是多少？

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