A-level 物理（進階物理）/萬有引力勢能

如果你將一個球扔到空中，你賦予了它動能。然後，由於地球引力場對它的影響，球會減速。但是，我們知道能量既不能被創造也不能被消滅。你賦予球的動能轉化為重力勢能。你把球扔得離地球越遠，它在回落過程中產生的動能就越大。但是，要產生動能，必須有加速度。如果有加速度，就必須有力的作用。

你應該已經知道能量等於移動物體一段距離 Δx 所做的功。

$\Delta E_{grav}=F\Delta x$

所做的功由施加的力乘以物體在力的方向上移動的距離給出。要使物體克服重力移動，向上施加的力必須等於重力作用在物體上的向下力 mg。因此，如果我使物體克服重力移動一段距離 Δx，所做的功由下式給出：

$\Delta E_{grav}=mg\Delta x$

通常稱此 x 為高度，因此你經常會看到 E_grav=mgh。增量符號很重要。它們意味著我移動物體的距離 x 無所謂 - 我可以決定重力勢能為 0 的點，這使得計算變得容易。

這個簡單公式的難點在於 g 在長距離內並不保持不變。

$g={\frac {-GM}{r^{2}}}$

因此，在距離 Δr 上，x 變為 r，所以

$E_{grav}={\frac {-GMmr}{r^{2}}}={\frac {-GMm}{r}}$

儘管這個“推導”在某種程度上令人信服，但它實際上是無效的。對這個公式的正確推導將使用微積分（見下文）。“距離 r”通常非常大，而萬有引力在這樣的距離上不會保持不變。然而，上述公式 $E_{grav}=mg\Delta x$ 確實假設萬有引力是恆定的，因此在這種情況下的公式是無效的。

所以，如果你處理的是長距離上的重力勢能，請使用這個公式。如果你處理的是短距離上的重力勢能，例如地球表面的斜坡，其中 g=9.81ms⁻²，請使用 E_grav = mgh。

圖表

我們剛才做了一些偷偷摸摸的事情。你可能沒有注意到。讓我們看看當我們將萬有引力 F 關於 r 從 r 到 ∞ 進行積分時會發生什麼。

$\int _{r}^{\infty }{\frac {-GMm}{r^{2}}}dr=\left[{\frac {GMm}{r}}\right]_{r}^{\infty }={\frac {GMm}{\infty }}-{\frac {GMm}{r}}$

由於將任何東西除以無窮大都得到幾乎為 0 的結果

$\int _{r}^{\infty }Fdr=-{\frac {GMm}{r}}=E_{grav}$

因此

${\frac {dE_{grav}}{dr}}=F$

所以，如果你有一個重力勢能對半徑的圖形，則圖形的斜率就是萬有引力。如果你有一個萬有引力對半徑的圖形，則圖形在任何一點和 F 軸之間的面積就是該點的重力勢能。圖形在任意兩點之間的面積就是它們之間的重力勢能差。

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