A-level 物理 (進階物理)/萬有引力勢能/習題解答

1. 一個球體從一個 3 米高的光滑斜坡上滾下。它在底部時的速度是多少？

$mgh={\frac {1}{2}}mv^{2}$

$gh={\frac {1}{2}}v^{2}$

$v={\sqrt {2gh}}={\sqrt {2\times 9.81\times 3}}=7.67{\mbox{ ms}}^{-1}$

2. 在一個除了兩個行星之外空無一物的宇宙中，兩個質量為 10²⁵ 千克的行星相距 10¹² 米。這兩個行星的半徑都為 10⁶ 米。它們碰撞時速度是多少？

設 $M_{1}$ 為行星 1 的質量，$M_{2}$ 為行星 2 的質量。兩者都是 $1\times 10^{25}$ 千克

假設行星 1 靜止，行星 2 正在朝它加速（相對運動）。

設 D = $1\times 10^{12}$ 米 = 兩個行星中心之間的距離。設 d = $1\times 10^{6}$ 米 = 行星的半徑。

$\int _{2d}^{D}{\frac {GM_{1}M_{2}}{r^{2}}}dr=$ 萬有引力勢能

$\left[{\frac {-GM_{1}M_{2}}{r}}\right]_{2d}^{D}=-GM_{1}M_{2}\left[{\frac {1}{D}}-{\frac {1}{2d}}\right]={\frac {1}{2}}M_{2}v^{2}$

${\sqrt {-2GM_{1}\left[{\frac {1}{D}}-{\frac {1}{2d}}\right]}}=v=25,800ms^{-1}$

3. 一輛 2000 千克的汽車至少需要做多少功才能開上一個 100 米高的山坡？

$mgh=2000\times 9.81\times 100=1.962{\mbox{ MJ}}$

4. 行星在橢圓軌道上執行時，當它靠近恆星時，它的速度如何變化？

當它靠近恆星時，它損失了萬有引力勢能，因此獲得了動能，所以它的速度增加。