A-level 物理 (進階物理)/半衰期

以指數衰減方式衰減的事物的半衰期是指衰減變數的值減半所需的時間。

放射性同位素的半衰期

半衰期最常見的應用是在放射性衰變中。放射性強度由以下公式給出

$A_{t}=A_{0}e^{-\lambda t}$

在 t=t_½ 時，A_t = ½A₀，因此

${\frac {A_{0}}{2}}=A_{0}e^{-\lambda t_{\frac {1}{2}}}={\frac {A_{0}}{e^{\lambda t_{\frac {1}{2}}}}}$

$2=e^{\lambda t_{\frac {1}{2}}}$

$\ln {2}=\lambda t_{\frac {1}{2}}$

因此

$t_{\frac {1}{2}}={\frac {\ln {2}}{\lambda }}$

需要注意的是，半衰期與衰減變數完全無關。在半衰期結束時，所有衰減變數都會減半。這也意味著，您可以從衰減過程中的任何一點開始，使用任何衰減變數的值，從該時間開始該變數的值減半所需的時間將是半衰期。

您也可以使用此公式來表示其他形式的衰減，只需將衰減常數 λ 替換為指數關係中 t 前面的常數即可。因此，對於電容器的電荷，由以下關係給出

$Q_{t}=Q_{0}e^{\frac {-t}{RC}}$

所以，代入

$\lambda ={\frac {1}{RC}}$

因此，電容器的半衰期由以下公式給出

$t_{\frac {1}{2}}=RC\ln {2}$

但是，在處理電容器時，更常見的是使用時間常數，通常用 τ 表示，其中

$\tau =RC={\frac {t_{\frac {1}{2}}}{\ln {2}}}$

在 t = τ 時

$Q_{t}=Q_{0}e^{\frac {-RC}{RC}}={\frac {Q_{0}}{e}}$

因此，電容器的時間常數可以定義為電容器的電荷、電流或電壓衰減到初始電荷、電流或電壓的 e 的倒數 (36.8%) 所需的時間。

1. 氡-222 的衰減常數為 2.1μs⁻¹。它的半衰期是多少？

2. 鈾-238 的半衰期為 45 億年。5 克 U-238 樣本衰變到只剩下 1.25 克 U-238 需要多長時間？

3. 需要多長時間才能衰變到只剩下 0.5 克 U-238？

4. 氚（氫的放射性同位素）衰變為氦-3。1 年後，剩餘 94.5%。氚 (H-3) 的半衰期是多少？

5. 一個大型電容器的電容為 0.5F。它與一個 5Ω 電阻串聯，幷包含 5C 電荷。它的時間常數是多少？

6. 電容器中的電荷需要多長時間才能達到 0.677C？ ( $0.677={\frac {5}{e^{2}}}$ )