A 級物理（進階物理）/半衰期/解答

1. 氡-222 的衰變常數為 2.1μs⁻¹。它的半衰期是多少？

$t_{\frac {1}{2}}={\frac {\ln {2}}{2.1\times 10^{-6}}}=330070{\mbox{ s }}=3.82{\mbox{ days}}$

2. 鈾-238 的半衰期為 45 億年。5 克 U-238 樣本衰變到僅包含 1.25 克 U-238 需要多長時間？

2 個半衰期，因為 1.25 是 5 的四分之一。2 x 4.5 = 90 億年。

3. 它需要多長時間才能包含 0.5 克 U-238？

首先計算衰變常數

$\lambda ={\frac {\ln {2}}{t_{\frac {1}{2}}}}={\frac {\ln {2}}{4.5\times 10^{9}}}=1.54\times 10^{-10}{\mbox{ yr}}^{-1}$

$0.5=5e^{-1.54\times 10^{-10}t}$

$0.1=e^{-1.54\times 10^{-10}t}$

$\ln {0.1}=-1.54\times 10^{-10}t$

$t={\frac {\ln {0.1}}{-1.54\times 10^{-10}}}=14.9{\mbox{ Gyr}}$

4. 氚是氫的放射性同位素，衰變為氦-3。1 年後，只剩下 94.5%。氚（H-3）的半衰期是多少？

$0.945=e^{-\lambda \times 1}$ (如果 λ 以 yr⁻¹ 為單位)

$\lambda =-\ln {0.945}=0.0566{\mbox{ yr}}^{-1}={\frac {\ln {2}}{t_{\frac {1}{2}}}}$

$t_{\frac {1}{2}}={\frac {\ln {2}}{0.0566}}=12.3{\mbox{ yr}}$

5. 一個大型電容器的電容為 0.5F。它與一個 5Ω 電阻串聯放置，幷包含 5C 的電荷。它的時間常數是多少？

$\tau =RC=5\times 0.5=2.5{\mbox{ s}}$

6. 電容器充電到0.677C需要多長時間？ ($0.677={\frac {5}{e^{2}}}$)

2 x τ = 5s