A-level 物理（進階物理）/動能理論

以下公式總結了理想氣體動能理論的許多內容

$pV={\frac {1}{3}}Nm{\bar {c^{2}}}$ ,

其中，p 是氣體的壓強，V 是其體積，N 是分子的數量，m 是每個分子的質量， ${\bar {c^{2}}}$ 是分子的均方根速度。如果你知道所有分子的速度，你可以透過將每個速度平方，然後取所有平方速度的平均值來計算均方根速度。

推導

這個公式可以透過將氣體模擬為大量相互碰撞的粒子來從第一性原理推匯出來。這些粒子具有動量 p = mc。如果我們將它們放在體積為 V、長度為 l 的盒子中，它們撞擊盒子壁時動量的變化為

$\Delta p=m(c-(-c))=2mc$

每次粒子經過盒子的長度（l）和返回（另一個 l）時，它都會撞擊牆壁，所以

$c={\frac {2l}{t}}$ ,

其中 t 是兩次碰撞之間的時間。因此

$t={\frac {2l}{c}}$

每次碰撞都會對牆壁施加一個力。力是動量的變化率，所以

$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {2mc}{\frac {2l}{c}}}={\frac {2mc^{2}}{2l}}={\frac {mc^{2}}{l}}$

然而，我們有 N 個粒子都在做這件事，所以作用在牆壁上的總力由下式給出

$F={\frac {Nm{\bar {c^{2}}}}{l}}$

這些分子都具有不同的速度，因此我們必須取一個平均值——均方根速度。這個力是三個維度上的力。因此，僅在一個維度上的力為

$F={\frac {Nm{\bar {c^{2}}}}{3l}}$

根據定義，壓強為

$p={\frac {F}{A}}={\frac {Nm{\bar {c^{2}}}}{3Al}}$

但面積乘以長度是體積，所以

$p={\frac {Nm{\bar {c^{2}}}}{3V}}$

因此

$pV={\frac {1}{3}}Nm{\bar {c^{2}}}$

1. 五個分子以 1, 5, 6, 8 和 36 ms⁻¹ 的速度運動。它們的均方根速度是多少？

2. 一個 N₂ 分子（原子量 14，1u = 1.66 x 10⁻²⁷kg）的質量是多少？

3. 大氣壓為 101,325 Pa。如果一摩爾氮氣在約 10 °C 時佔 2.3 m³，假設大氣為 100% 氮氣（實際上只有 78%），那麼外界空氣中分子的均方根速度是多少？

4. 在上述條件下，氮氣分子的平均速度是多少？

5. 問題 1 中的粒子被複制 3000 次。如果它們具有 1g 的完全不現實的質量，當它們被塞入邊長為 0.5m 的立方體中時，它們的壓強是多少？