A 級物理（進階物理）/軌道/解答

1. 橢圓軌道的半長軸可以用行星到太陽的平均距離來近似地表示。如何使用上表中的資料來檢驗太陽系內行星是否遵循開普勒第三定律？

將 T² 除以 R³，並對每顆行星進行計算，看這個值是否大致相同。

2. 進行此測試。開普勒第三定律是否成立？

行星	水星	金星	地球	火星
圖片
到太陽的平均距離（公里）	57,909,175	108,208,930	149,597,890	227,936,640
軌道週期（年）	0.2408467	0.61519726	1.0000174	1.8808476
${\frac {T^{2}}{R^{3}}}$ (年2公里−3 x 10−25)	2.987027815	4.85540079	2.986972006	1.588221903

因此，使用此半長軸的粗略近似值，開普勒第三定律確實適用於內行星。

3. 如果 T² α R³，用 T 和 R 表示常數 C。

$C={\frac {T^{2}}{R^{3}}}$

這是比例常數。對於圍繞太陽的所有行星，它應該大致相同。或者，可以使用

$C={\frac {R^{3}}{T^{2}}}$

我們將使用前者來回答接下來的兩個問題，但您應該能夠使用後者得到相同的答案。

4. 木星的一顆衛星木衛一，其平均軌道半徑為 421600 公里，公轉週期為 1.77 個地球日。木星衛星的 C 值是多少？

$C={\frac {T^{2}}{R^{3}}}={\frac {(1.77\times 24\times 60\times 60)^{2}}{(421600000)^{3}}}=3.12\times 10^{-16}{\mbox{ s}}^{2}{\mbox{m}}^{-3}$

5. 木星的另一顆衛星木衛三，其平均軌道半徑為 1070400 公里。它的公轉週期是多長？

$3.12\times 10^{-16}={\frac {T^{2}}{1070400000^{3}}}$

$T={\sqrt {3.12\times 10^{-16}\times 1070400000^{3}}}=618665{\mbox{ s}}=7.16{\mbox{ days}}$

由於我們使用了一些近似值，因此結果並不準確。