A 級物理（進階物理）/放射性衰變/習題解答

1 摩爾 = 6.02 x 10²³ 個原子

1u = 1.66 x 10⁻²⁷kg

1. 鋂-241 的衰變常數為 5.07 x 10⁻¹¹s⁻¹。1 摩爾鋂-241 的活度是多少？

$A=\lambda N=5.07\times 10^{-11}\times 6.02\times 10^{23}=3.05\times 10^{13}{\mbox{ Bq}}$

這就是為什麼我們只需要非常小的樣本來用於例如煙霧探測器。事實上，出於安全考慮，我們需要一個小樣本——否則我們都會得癌症！

2. 需要多少克鉛-212（λ = 18.2μs⁻¹）才能產生 0.8 x 10¹⁸Bq 的活度？

$N={\frac {A}{\lambda }}={\frac {0.8\times 10^{18}}{18.2\times 10^{-6}}}=4.40\times 10^{22}{\mbox{ nuclei}}=4.40\times 10^{22}\times 212\times 1.66\times 10^{-27}=15.5{\mbox{ g}}$

3. 2 kg 的鉛-212 衰變到 1.5 kg 的鉛-212 需要多長時間？

質量與原子數量成正比，因此

$m=m_{0}e^{-\lambda t}$

${\frac {m}{m_{0}}}=e^{-\lambda t}$

${\frac {m_{0}}{m}}=e^{\lambda t}$

$\lambda t=\ln {\frac {m_{0}}{m}}$

$t={\frac {\ln {\frac {m_{0}}{m}}}{\lambda }}={\frac {\ln {\frac {2}{1.5}}}{18.2\times 10^{-6}}}=15807{\mbox{ s}}=4.39{\mbox{ hours}}$

4. 消失的 0.5 kg 到哪裡去了？

它變成了另一種同位素——在這種情況下，是汞-208。一些還變成了α粒子。

5. 一些鋂-241 的活度為 3kBq。10 年後它的活度是多少？

$A=A_{0}e^{-\lambda t}=3000\times e^{-5.07\times 10^{-11}\times 10\times 365.24\times 24\times 60\times 60}=2.952{\mbox{ kBq}}$

6. 這種放射性衰變模型類似於拿一些骰子，每秒擲一次，然後移除擲出 1 或 2 的骰子。骰子的衰變常數是多少？

衰變常數是移除骰子的機率——λ = ⅓。

7. 如果你一開始有 10 個骰子，10 秒後你還會剩下多少個骰子？這種放射性衰變模型有什麼問題？

$N=N_{0}e^{-\lambda t}=10\times e^{-{\frac {1}{3}}\times 10}=0.357{\mbox{ dice}}$

顯然，你不可能有 0.357 個骰子。放射性衰變模型的問題是，一旦你擁有的原子核足夠少，衰變就不再是連續的。隨著時間的推移，這種模式變得更加隨機。該模型還表明，原子核的數量總是會減少。實際上，由於原子核的數量只能是整數，因此最終將達到沒有原子核留下的時刻。