A-level 物理（進階物理）/簡諧運動/習題解答

1. 一個 10N 的重物將彈簧拉伸了 5 釐米。再增加一個 10N 的重物，彈簧又拉伸了 5 釐米。彈簧的彈性係數是多少？

$\Delta F=k\Delta x$

$10=0.05k$

所以 $k={\frac {10}{0.05}}=200Nm^{-1}$

2. 將彈簧帶到外太空，並用兩個重物將它拉伸了 10 釐米。它的振動週期是多少？

首先計算兩個重物的質量

$20=9.81m$

m = 2.04 公斤

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}=2\pi {\sqrt {\frac {2.04}{200}}}=0.634{\mbox{ s}}$

3. 1 秒後彈簧上作用著什麼力？方向如何？

我們從 t=0 時開始振動，此時有一個位移。這個位移是振動的振幅，我們需要 f(ωt) 在 t=0 時為正。因此，我們使用一個帶有餘弦的位移方程。我們已經推匯出這種情況下加速度的公式

$a=-\omega ^{2}\cos {\omega t}$

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {2\pi }{6.34}}=0.99{\mbox{ rad s}}^{-1}$

所以

$a=-0.99^{2}\cos {0.99\times t}=-0.538{\mbox{ ms}}^{-2}$

負號表示加速度與初始位移方向相反。

4. 一個擺的頻率為 0.5 赫茲。這個擺的長度是多少？

$\omega =2\pi f$

${\sqrt {\frac {g}{l}}}=2\times \pi \times 0.5$

${\sqrt {\frac {9.81}{l}}}=\pi$

${\frac {9.81}{l}}=\pi ^{2}$

$l={\frac {9.81}{\pi ^{2}}}=0.994{\mbox{ m}}$

5. 下圖顯示了一個簡諧振盪器的位移。繪製其速度、動量、加速度和作用在其上的力的圖形。

x 是正弦波，所以

$x=A\sin {\omega t}$

$v={\frac {dx}{dt}}=A\omega \cos {\omega t}$

$a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-A\omega ^{2}\sin {\omega t}$

$p=mv=mA\omega \cos {\omega t}$

$F=ma=-mA\omega ^{2}\sin {\omega t}$

由於您沒有提供任何細節，因此波的振幅並不重要。但是，相位差很重要。

6. 只有當擺錘的擺動角度很小時，才能將其建模為簡諧振子。這是為什麼？

簡諧振子之所以有效，是因為作用力與位移方向相反。當擺錘遠離掛在釘子正下方區域時，作用力不再與位移方向相反。