相對論之旅：過山車/附錄 A

1g 火箭問題

考慮一個從靜止狀態以恆定加速度 1g 加速的火箭。考慮到相對論效應，我們實際上指的是什麼？顯然，火箭不能以恆定速率增加速度（對於保持靜止的人來說），因為它最終會超過光速。實際上發生的是，火箭以指數方式接近光速，如下所示。

那麼我們指的是恆定加速度什麼呢？好吧，從船上宇航員的角度來看，我們指的是他們體驗到一個恆定的模擬重力場，該重力場是由持續燃燒的火箭發動機的穩定推力產生的，這與地球上的 1g 感受完全一樣。對他們來說，宇宙飛船永遠處於靜止狀態，但船外的宇宙看起來以越來越快的速度經過，就像上面的插圖一樣。

現在，我們似乎需要在這裡使用廣義相對論的概念，但實際上沒有必要。我們只需要仔細定義我們指的是這種加速度的哪種型別。在牛頓世界中，如果以速度 v 運動的物體以加速度 a 加速一小段時間 δt，則最終速度由下式給出

$v+\delta v=v+a\delta t$

然而，在相對論世界中，我們必須使用相對論速度疊加公式（見附錄 *），即

$v+\delta v={v+a\delta t \over 1+va\delta t/c^{2}}$

這導致

$(v+\delta v)(1+va\delta t/c^{2})=v+a\delta t$
$v+v^{2}a\delta t/c^{2}+\delta v+va\delta v\delta t/c^{2}=v+a\delta t$

消去二階項，我們得到

$\delta v=a\delta t-v^{2}a\delta t/c^{2}$
$\delta v=a\delta t(1-v^{2}/c^{2})$

現在我們所要做的就是對這個表示式進行積分，以找出 v 如何隨 t 變化。首先分離變數

${\delta v \over (1-v^{2}/c^{2})}=a\delta t$
${\delta v \over (c^{2}-v^{2})}={a \over c^{2}}\delta t$

現在積分

$\int {1 \over (c^{2}-v^{2})}\,dv={a \over c^{2}}t$

幸運的是，這是一個標準積分，我的數學書告訴我它是

${1 \over c}\tanh ^{-1}{v \over c}={a \over c^{2}}t$

（由於 v 在 t = 0 時為 0，因此沒有積分常數）。一些簡單的操作可以讓我們得到第一個結果

$v=c\tanh {a \over c}t$

注意這裡提到的時間 t 是 proper time 的積分，也就是行程時間 - 也就是飛船上的乘客所經歷的時間。所以這個公式告訴你經過時間 t 後你的速度會是多少。

接下來，我們想知道在這段時間內你能走多遠。為了做到這一點，我們必須考慮到越快，你經過的距離就越縮短！在牛頓世界中，在短時間 δt 內以速度 v 行駛的距離 δs 為

$\delta s=v\delta t$

但在相對論世界中，你實際上走得更遠，因為飛船外所有的距離都因 γ 倍的長度收縮，所以

$\delta s=\gamma v\delta t$
$\delta s={v \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\delta t$

將我們經過時間 t 後飛船速度的公式代入，我們得到

$\delta s={c\tanh at/c \over {\sqrt {1-(\tanh at/c)^{2}}}}$
$\delta s=c\sinh {at \over c}\delta t$

對這個表示式進行積分，得到

$s={c^{2} \over a}\cosh {at \over c}+K$

這次我們不能忽略積分常數，因為當 t = 0 時，s = 0，但 cosh(0) 為 1 而不是零。因此，最終結果為

$s={c^{2} \over a}\left(\cosh {at \over c}-1\right)$

我們想了解的第三件事是，我們回來的時候我們的朋友會多大歲數！好吧，對於我們以速度 v 行駛的每一秒，留在地球上的朋友會老 γ 秒，即

$\delta t_{\text{home}}={\delta t \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$
$t_{\text{home}}=\int {1 \over {\sqrt {1-(\tanh at/c)^{2}}}\,dt}$
$t_{\text{home}}=\int {\cosh {at \over c}}\,dt$

由此，我們得到

$t_{\text{home}}={c \over a}\sinh {at \over c}$

(積分常數為零，因為 sinh(0) = 0，正如預期的那樣)

我發現 1g 火箭問題的解擁有如此簡單而優雅的答案，尤其是在我們使用年和光年進行計算時，這一點特別令人滿意。在這些單位中，a 和 c 都等於 1。如果我們考慮一個往返行程，該行程需要 T 年（以飛船上的時間測量），那麼往程將包含兩個階段，加速階段持續 T/4 年，減速階段同樣長。返程也一樣。

達到的最大速度將是

$v=\tanh(T/4)$

你將到達的距離是

$S=2\left(\cosh(T/4)-1\right)$

當你回來時，你剛出生的小兒子的年齡將是

$T_{\text{home}}=4\sinh(T/4)$

為了讓你瞭解這些表示式在實際應用中的樣子，這裡有一個結果表

旅程時間 (年)	最大速度 (% of c)	距離 (光年)	兒子年齡 (年)
0	0	0	0
1	24	0.1	1
2	46	0.3	2
3	64	0.6	3
4	76	1.1	5
5	85	2	6
6	91	3	9
7	94	4	11
8	96	6	15
9	98	8	19
10	99	10	24

值得注意的是，理論上往返一顆距離地球10光年的恆星只需要10年的宇航員時間 (而地球上已經過去了24年)。如果你準備旅行20年、30年或40年，你可以分別到達距離地球150光年、1800光年和22000光年的恆星 (這相當於銀河系四分之一的距離！) 如果你不介意不回家，你可以在僅僅47年內到達已知宇宙的邊緣 (不過，當你到達那裡時，宇宙是否還存在就是另一個問題了！)

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