相對論的過山車之旅
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本書面向學習過一些數學並具備基本代數知識的讀者。它非常適合 A 級或高中物理和/或數學學生，其目的是用適合這些知識水平的概念和語言儘可能解釋狹義和廣義相對論。
關於相對論的書籍一般分為兩類。當然，有很多本科水平的教科書，帶領讀者從時間膨脹等簡單概念一直到閔可夫斯基圖和張量理論。也有很多書籍試圖在不使用任何方程式（或者只使用一個！）的情況下解釋相對論。遺憾的是，很多這樣的書籍過於簡化，有些坦率地說，是錯誤的。正如愛因斯坦自己所說，“你應該儘可能簡單地解釋你的理論，但不要更簡單。”對於精通數學的學生和普通讀者，這兩種方法都不合適。這本小書試圖填補這個空白，透過使用大量簡單的代數和數值示例來解釋愛因斯坦的理論，但沒有引入任何超出非常簡單的微積分的數學技巧（當然，如果需要，可以忽略這些技巧）。
那麼，僅僅使用 A 級知識可以實現多少呢？答案是相當多。狹義相對論的基本定理（時間膨脹）只需要畢達哥拉斯定理，其餘定理則需要與代數能力相當的思維敏捷性。所有給出的證明都經過仔細選擇，1g 火箭問題和速度相加的證明是新的，因為我以前沒有在其他地方看到過以這種方式證明它們。對著名方程 *E* = *mc*2 的方法也是略有新意的，它避免了量子理論的複雜性，而量子理論是任何依賴於盒子裡光子行為的證明的非常不令人滿意的特徵。在論證的每個階段，我都小心地展示了當 *v*遠小於 *c*時，相對論表示式如何簡化為牛頓表示式。
說到廣義相對論，我們只能做到愛因斯坦 1911 年論文的程度，他在論文中描述了光線的彎曲和引力時間膨脹。1917 年出現的完整理論中揭示的由於空間和時間扭曲而產生的額外效應超出了本書的範圍。然而，我們仍然可以計算出被稱為黑洞的這些非凡天體的某些預測屬性，甚至可以開始討論宇宙整體的數值屬性。
有一個關於阿瑟·愛丁頓爵士的故事，他寫了很多書解釋和普及愛因斯坦的理論。一位記者曾經對他說道，他是世界上僅有的三個真正理解廣義相對論的人之一。愛丁頓沉默不語。當被問及為什麼他沒有說任何話時，他回答說：“我只是在想第三個人是誰。”
在愛因斯坦首次發表論文後的一個世紀裡，科學界逐漸接受了廣義相對論——至少在大尺度上——是世界執行的方式，它的預測現在已經被無數次驗證，準確度驚人。但是，至於真正理解它的人數，你可能仍然在一張紙上列出他們的姓名——你不會在我的名單上找到我的姓名！另一方面，相對論的基本思想及其一些奇怪的後果，包括黑洞的存在，已經成為常識，任何有求知慾的人都想知道這些說法是如何得到證明的。如果你發現這本書中大量的方程式和公式有點令人生畏，請記住，正如伽利略所說，自然之書是用數學語言寫成的，如果我們要理解我們所生活的這個世界，我們必須接受這一事實，並繼續練習我們的數學能力，即使我們已經離開了正規的數學教育。此外——方程式有一個重要的屬性，它與本書中出現的其他定理一樣重要，所以我將在一個漂亮的小框中打印出來
| 閱讀數學書籍的基本原則 |
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| 所有數學方程式都可以根據需要欣賞或忽略。你所需要的只是相信它們的真實性。 |
數學證明就像房子的產權證。重要的是產權證的存在，以及它被妥善儲存。當你第一次買房子時，你可能足夠好奇地瀏覽一下它，看看上面寫了什麼，但你不太可能理解它所用到的法律語言；然而，你僱用了一位優秀的律師來確保它是有序的，你至少可以欣賞它所使用的精美紙張。
我敦促你以同樣的方式看待本書中的方程式和證明。瀏覽一下它們；嘗試理解其中的一部分，但不要以為你必須理解每一個方程式——只需坐下來欣賞它們。不過，請務必拿出你的計算器驗證一些數字；否則，你可能會發現它們難以置信。當你讀完這本書後，你可以把它放在你臥室的一個安全地方，然後安心地睡覺，即使你仍然不相信運動的鐘表走得慢，一分錢也會在加速時彎曲，但證明靜靜地放在你的架子上，所以它畢竟應該是真的。
讓我帶你乘坐相對論的過山車之旅。你會在這趟旅程中看到許多奇怪的景象，聽到許多奇怪的故事——很多你難以置信。但在旅程結束時，你將能夠用一種全新的、更加深刻的理解看待你周圍的世界和頭頂的星辰。你拿到了你的票嗎？那就讓我們出發吧……
我們一起登上列車，坐下來。一陣鐘聲響起，伴隨著一陣猛烈的顛簸，我們出發了。
“沒有什麼可以抓握的東西，”你說。
是的，你是對的。在我們面前，除了一個看起來像只有一個換檔桿，末端有一個黑色旋鈕的東西之外，什麼都沒有。在旋鈕上，有一些用白色刻的文字，簡單地說：“狹義相對論的基本原則”。
恐怕只有這些，你必須像粘膠一樣緊緊抓住它。如果你放開了這個原則，你就迷路了。這個原則本身看似無害，幾乎不言而喻，然而愛因斯坦證明，它導致了一系列令人驚歎的、幾乎難以置信的結果。在過山車爬上第一個山峰的時候，讓我告訴你這個奇妙的原則是什麼。
| 狹義相對論的基本原則 |
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| 物理定律對於所有相對於彼此作勻速直線運動的觀察者都是相同的。 |
“就這些？”你問。“我還以為這是顯而易見的。”
嗯，是的，就是這樣。畢竟，當你從茶壺裡倒一杯茶到茶杯裡時，你、茶杯和茶壺是否都以 125 公里/小時的（恆定）速度在火車車廂裡沿著（直線）鐵軌飛馳並不重要。同樣，整個火車，甚至整個地球以 30 公里/秒的（幾乎恆定）速度繞太陽旋轉也並不重要，整個太陽系繞銀河系的旋轉速度甚至比這還要快也不重要！支配茶葉下落方式的物理定律是完全相同的。你也不應該期望計算器會給出不同的答案或樂器會發出不同的聲音，僅僅因為它們正在移動。當然，所有物理定律無論你是否在運動都相同。
我們可以用類似的表達方式重新陳述我們的原理：
| 在一個封閉的實驗室裡，不可能進行任何實驗來探測實驗室是否在運動。絕對運動毫無意義，只有相對運動可以測量。 |
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聽起來很有道理，不是嗎？
對我來說，聽起來很明顯。
我同意。但是，也許有一種方法可以讓你判斷自己是否在運動。如果你測量光在不同方向上的速度會怎麼樣？假設你發現光在一個方向上的速度大於光在相反方向上的速度？你將如何推斷？當然，合理地推斷你的實驗室實際上正在太空中移動，在一個方向上光速和實驗室速度相加，而在另一個方向上，這兩個速度相減。
實際上，這個實驗很難做，因為你必須非常精確地測量光速，但最終，正如我們將在後面看到的那樣，兩位名叫邁克爾遜和莫雷的物理學家進行了相應的實驗，但結果令人失望。光速似乎在所有方向上都是恆定的。
雖然大多數科學家試圖透過各種方法來解釋這個結果，但阿爾伯特·愛因斯坦只是將其作為一個基本原理的必要結果來接受，即：
| 真空中光速是一個普遍常數，即使在相對運動的不同觀察者測量時，它也將始終保持不變。 |
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（值得注意的是，愛因斯坦在第一次研究狹義相對論時並不知道邁克爾遜-莫雷實驗的結果。）
我們現在已經爬上了第一座山頂。讓我們停一下，最後再看看我們舒適熟悉的這個世界。在你的下方，你可以看到你的孿生兄弟在翻閱一本看起來像是旅遊手冊的東西。稍後我們會發現他正在計劃去比鄰星短途旅行。在你右邊，你可以看到一些工人正在對一個高聳在射擊場上的大型時鐘進行維護。研究子彈的行為會告訴我們一些關於速度如何相加的非凡現象。孩子們乘坐鬼車發出的尖叫聲吸引了你的注意，你看著長長的火車衝進隧道。你注意到火車尾部消失在隧道中的那一刻，火車頭正好從隧道的另一端出現。詳細考慮這種情況會顛覆我們對時間的認知。在下方，你注意到一些孩子在一個破舊的桌子上玩著“推半便士”的遊戲，還有兩個男孩正在拋著兩個足球。在遠處，你可以看到一條快速流動的河流。等等 - 一場比賽即將開始......
河流競賽
[edit | edit source]兩位朋友，如果可以的話，叫阿爾伯特和貝婭特麗絲，同意在一條快速流動的河流上進行划船比賽。阿爾伯特將直接橫穿河流划行 100 米，然後再返回。他知道為了垂直於水流前進，他需要向上遊稍微劃一點，這會減慢他兩段行程的速度，但他認為不會減慢太多。貝婭特麗絲計劃向上遊划行 100 米到 B 點，然後再返回。她知道逆流而上划行會很辛苦，但她認為她在返回時會得到和出發時一樣多的幫助，而且她會贏得比賽。
你認為誰會贏得比賽？
你看。正如預期的那樣，阿爾伯特穩定地劃過河流，輕鬆地擊敗了向上遊努力划行的貝婭特麗絲，到達了第一個轉向點。但是，當貝婭特麗絲最終到達她的轉向點時，興奮和歡呼聲開始高漲，因為水流正迅速地將她帶回起點，而可憐的阿爾伯特仍在艱難地劃過河流。儘管如此，阿爾伯特領先太多，儘管有水流的幫助，貝婭特麗絲也無法彌補失去的距離，輸掉了比賽。
為什麼是這樣？讓我們用一些典型資料來算算。
如果我們假設河流流速為 1 米/秒，兩位划船者在水中的划行速度均為 2 米/秒，那麼很容易利用勾股定理得出阿爾伯特橫渡河流的合速度為 √3 米/秒，他將以 115 秒完成比賽。
另一方面，貝婭特麗絲需要 100 秒才能到達轉向點（以 2 - 1 = 1 米/秒的有效速度行駛），儘管有水流的幫助，她還是無法及時返回贏得比賽，因為即使以 2 + 1 = 3 米/秒的速度行駛，返回也需要 33 秒。
行程時間差異是由於兩條路徑的幾何形狀不同造成的，當然也取決於河流的速度。值得指出的是，如果河流流速為 2 米/秒，與阿爾伯特和貝婭特麗絲的划行速度相同，那麼兩位划船者都無法完成比賽。但事實證明，在低於 2 米/秒的速度下，阿爾伯特始終獲勝。
這個小故事有什麼意義？好吧，在 1887 年，邁克爾遜和莫雷使用一種叫做干涉儀的裝置進行了著名的測量地球穿過假想以太速度的實驗。該裝置的示意圖如下：
來自單色光源的光被一塊半鍍銀鏡分成兩束，這兩束光傳播到兩個遙遠的鏡子 A 和 B（就像兩位划船者阿爾伯特和貝婭特麗絲一樣）。當它們返回時，相同的半鍍銀鏡將兩束光重新組合成一束。如果兩個臂的長度完全相同（如果地球是靜止的），那麼兩束光到達鏡子並返回所需的時間完全相同，因此它們將完全同相到達併發生相長干涉（即，它們將產生強幹涉條紋）。然而，如果地球正在移動，根據以太理論，與地球在太空中運動方向平行的光束相對於另一束光會延遲，干涉條紋將會發生移動，也許會顯示出相消干涉而不是相長干涉。為了消除不可避免的臂長略微差異造成的影響，整個裝置被設計成緩慢地旋轉，一次旋轉 90°。
現在，地球以約 30 公里/秒的速度繞太陽執行 - 約為光速的 0.01%。這使得計算變得有點困難，因為重要的數字出現在小數點後第 10 位，你的計算器可能不夠精確 - 但結果是邁克爾遜和莫雷預計會看到約 ± 半個波長的條紋移動。並不多，但仍然很容易檢測到。
那麼，他們看到了什麼？他們觀察了一整年，發現什麼都沒有。條紋根本沒有移動。無論你從哪個角度看，這個實驗要麼是一個成功的失敗，要麼是一個糟糕的成功 - 因為它似乎表明地球根本沒有移動！
提出了各種理論來解釋這個結果。地球是宇宙中唯一速度為零的事物，這似乎難以置信，所以也許地球“拖拽”著以太一起移動，或者也許裝置的臂長會根據它們移動的方式發生變化。
這些都不正確。事實是，這個實驗的結果不需要解釋！這只是我們所處宇宙的一個基本事實。真空中光速是一個基本常數，即使在相對運動的觀察者測量時，它也將始終保持不變。
我對此沒有問題。
你會有的。
為什麼？
當考慮兩個相對運動的觀察者對光速的測量時，所有問題都會出現。你必須接受的第一件事是：
| 奇怪的後果 1 |
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| 移動的時鐘走得慢。 |
過山車猛烈一抖，突然你迅速地向下加速。我喊著“抓住這個原理”，你的手臂在空中瘋狂地揮舞著，試圖找到什麼東西可以抓牢。當我們加速時，我瞥了一眼鐘塔，滿意地注意到射擊場上的鐘表指標並沒有像以前那樣快地移動......
