相對論之旅/附錄 D

速度的加法

考慮一艘長度為l_A的宇宙飛船 A，以速度v_A從你身邊飛過，它經過另一艘長度為l_B的宇宙飛船 B，B 以速度v_B朝相反的方向運動（這兩個速度都是相對於你測量的）。我們需要回答的問題是，B 相對於 A 中的宇航員以什麼速度v_X運動？

我們需要考慮兩個關鍵事件：第一次接觸，當兩艘宇宙飛船的船頭相遇時；第二次接觸，當兩艘宇宙飛船的船尾分開時。

更重要的是，讓我們假設這兩個事件在同一個地方發生，從你的角度來看。這意味著這兩艘飛船的長度必須恰好合適，以便它們在相同的時間內從你身邊經過。請注意，從你的角度來看，兩艘飛船都因γ_A和γ_B因子而收縮。

現在，A 艦長看到了什麼？他看到你以速度v_A從他身邊飛過，也看到 B 艦以某個更大的速度v_X從他身邊飛過。

請注意，對於 A 艦上的乘員來說，B 艦的長度因γ_X因子而收縮。

現在，A 艦長可以用兩種方法計算第一次接觸和第二次接觸之間的時間。首先，他看到你以速度v_A運動了距離l_A。其次，他看到 B 艦（其長度收縮到l_B/γ_X）以速度v_X運動了l_A + l_B/γ_X的距離。因此，我們得到

${l_{A} \over v_{A}}={l_{A}+l_{B}/\gamma _{X} \over v_{X}}$
$l_{A}v_{X}=l_{A}v_{A}+l_{B}v_{Z}/\gamma _{X}$
$l_{A}(v_{X}-v_{A})=l_{A}v_{B}/\gamma _{X}$

從 B 艦長角度進行相同的論證，我們可以得到

$l_{B}(v_{X}-v_{B})=l_{B}v_{A}/\gamma _{X}$

（需要注意的是，由於速度不變性，如果 A 艦長看到 B 艦以速度v_X運動，那麼 B 艦長將看到 A 艦以完全相同的速度運動，並且以相同的 γ 因子收縮。）

現在，將這兩個方程相乘，消去兩艘飛船的長度，留下速度之間的關係。剩下的就是代數運算。

$(v_{X}-v_{A})(v_{X}-v_{B})=v_{A}v_{B}/\gamma _{X}^{2}$

現在

$\gamma _{X}={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

所以

$1/\gamma _{X}^{2}=1-v_{X}^{2}/c^{2}=(c^{2}-v_{X}^{2})/c^{2}$

因此

$(v_{X}-v_{A})(v_{X}-v_{B})=v_{A}v_{B}(c^{2}-v_{X}^{2})/c^{2}$

透過簡單的代數運算，我們就可以得到我們想要的結果

$v_{x}={v_{A}+v_{B} \over 1+v_{A}v_{B}/c^{2}}$