相對論之旅/多普勒效應

多普勒效應

當你聽到救護車經過時，它的警笛音調會降低。由於救護車在空氣中移動而你是靜止的，這是由於移動源效應。它的工作原理如下。

假設救護車正遠離你，它的警笛週期為T₀。在警笛發出一個完整波的時間內，波前向你移動了距離cT₀，但救護車卻向相反方向移動了距離vT₀。因此，波被拉伸到總距離 (cT₀ + vT₀)

由於這個波以c的速度到達我，它經過我所需的時間T 為 (cT₀ + vT₀)/c，即

$T=T_{0}(1+v/c)$

表觀週期被 (1 + v/c) 乘子所增加。

(如果你是一位音樂家，你就會知道，一個半音的變化——即一個八度的1/12——是由音調的變化引起的，變化因子是¹²√2 或者 1.06。這意味著，一輛以 45 英里/小時（相當於聲速的 6%）速度行駛的救護車，其警笛經過時將發生一個全音的多普勒頻移——在接近時升高一個半音，在遠離時降低一個半音。）

現在，光也完全一樣。你有沒有注意到，除了警笛聲音更低，救護車上的所有燈光也看起來更紅了嗎？沒有？好吧，我並不感到驚訝，因為救護車的速度可能達到了聲速的很大一部分，但它並沒有像光速那樣快，所以這種效應不會很明顯。

光的論證完全相同，除了由於波長伸長效應而增加外，我們還必須包括由於時間膨脹而增加的部分。我們只需要用 $\gamma$ T₀ 替換T₀，即

$T=\gamma T_{0}(1+v/c)={T_{0}(1+v/c) \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

在分子和分母上乘以c 並約去√(c + v) 的因子，最終得到

$T=T_{0}{\sqrt {c+v \over c-v}}$

但我以為你之前說光只有一種多普勒效應。你似乎找到了移動源效應的公式——但移動觀察者效應呢？

好的。首先考慮正常的效應（在聲音中）。假設你正在吹口哨來引起救護車司機（仍然遠離你）的注意。你傳送的波（波長為cT₀）以 (c - v) 的速度追趕救護車。一個波追上救護車所需的時間是cT₀ / (c – v)，所以

$T={T_{0} \over 1-v/c}$

時間再次增加，因此救護車司機會聽到更低的口哨聲，但你會注意到，這個公式與移動源效應的公式不同，移動源效應乘以 (1 + v/c)，而不是除以 (1 - v/c)。

現在，我們在應用相對論時間膨脹修正時必須小心一點。從我們的角度來看，是救護車司機的時間變慢了。所以，如果我們用T 秒到達救護車，他所用的時間更少。這意味著我們必須除以 $\gamma$ ，而不是乘以。因此

$T={T_{0} \over (1-v/c)\gamma }={T_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}} \over (1-v/c)}$

令人驚訝的是，這讓我們得到了完全相同的公式！

天文學家通常更關心波長的變化而不是週期的變化，但公式本質上是相同的，因為波長與週期成正比。即

$\lambda =\lambda _{0}{\sqrt {c+v \over c-v}}$

我發現光的多普勒頻移公式竟然是兩個正常的多普勒頻移公式的幾何平均數，這讓我感到很愉快。繪製一些圖形將有助於區分這些差異。

從物理學家的角度來看，這裡定義為 $\lambda /\lambda _{0}$ 的多普勒頻移因子才是最重要的。從天文學家的角度來看，重要的是波長的變化 $\lambda -\lambda _{0}$ ，通常是測量出來的，他們通常會引用恆星的紅移因子，其定義為 $(\lambda -\lambda _{0})/\lambda _{0}$ 。不難看出，紅移因子 = 多普勒頻移因子 - 1

如果光源的速度遠小於光速，我們可以使用二項式定理簡化公式，如下所示

${\lambda \over \lambda _{0}}={\sqrt {c+v \over c-v}}={\sqrt {1+v/c \over 1-v/c}}$

${\lambda \over \lambda _{0}}\approx (1+{\tfrac {1}{2}}v/c)(1-{\tfrac {1}{2}}v/c)\approx 1+v/c$

因此

${\text{Red-shift}}\approx v/c$

注意，該表示式只能在星系速度小於光速 20% 的範圍內使用。例如，仙女座星系顯示出 -0.001 的紅移（即它實際上是藍移的），並且正在以大約 300 公里/秒的速度向我們移動。不過，不用擔心碰撞——在 250 萬光年之外，它需要 25 億年才能到達我們！

已經觀測到具有非常大紅移因子的類星體——例如：類星體 PC1247+3406 的紅移為 4.897，因此多普勒頻移因子為 5.897，退行速度為光速的 94%。1929 年，埃德溫·哈勃發現所有遙遠的星系都在遠離我們，隨後的測量表明，速度和距離之間存在簡單的正比關係，可觀測宇宙的邊緣約為 136 億光年。如果 PC1247 的紅移是由於多普勒效應造成的，除此之外別無其他，那麼這似乎表明它距離我們驚人的 128 億光年。

當然，如果一個星系以等於或大於光速的速度遠離我們，我們將無法看到它，因為它發出的所有光都會紅移消失。

我想是這樣——但重點應該是學術性的，因為你已經多次指出，沒有什麼能比光速更快。

沒錯——但實際上，一個星系可能以如此快的速度遠離我們，這並非不可能，儘管我們已經討論了速度的加法等等。宇宙學家認為，遙遠星系顯示出巨大的紅移，不是因為它們在一個固定空間中遠離我們，而是因為它們自己處於靜止狀態——但它們之間的空間在膨脹。

這是什麼意思？

想象一下，一群螞蟻在一個正在被吹大的氣球上爬來爬去。

螞蟻之間的距離一直在增加——但螞蟻實際上並沒有移動。此外，在任何給定的時間，兩隻有機螞蟻之間的距離增加的速率與其之間的距離成正比。最終，當氣球變得足夠大時，將有一對螞蟻，它們之間的距離增加的速度會超過光速。

我們的宇宙可能就是這樣。確實可能存在一些星系以超過光速的速度遠離我們！

好吧，正如我之前所說，這個想法是學術性的，因為我們永遠無法看到它們或到達那裡——即使在理論上也是如此。

是的——你可能沒錯，雖然有一種可能性，如果宇宙的膨脹減緩，那麼其中一些星系可能會再次進入我們的視野。最新的研究似乎表明，事實上，宇宙的膨脹正在加速。如果是這樣，我們現在能看到的一些星系將會消失在地平線上，永遠不再出現。事實是，我們並不真正知道我們生活在什麼樣的宇宙中——主要是因為天文學家對它包含多少物質這個問題存在嚴重分歧。但這又是另一個故事了。

第三個山丘

過山車仍然以高速行駛，從螺旋形軌道中出來，向上爬一個平緩的坡度。再次，當它接近山頂時，你有了喘息的機會，可以環顧四周。

嘿！看看那些男孩！太聰明瞭！

你說得對，確實很聰明。那些男孩正在互相拋一對足球——但他們不僅僅是在玩接球，他們是在讓球從對方身上彈回來，這樣他們就可以接住他們剛剛扔出去的球。

那一定很難。你說，你必須以恰當的速度拋球，讓它回到你身邊。如果你扔得太慢，它就沒有足夠的動量把另一個球彈回它的主人手中。

但你沒有時間再看太久。過山車開始了第三次大下降。抓緊了！

令你驚訝的是，你發現一個足球在你腿上，就像孩子們扔的那樣。一時興起，你把它側著扔出了過山車。就在這時，在你前面，你看到其中一個男孩把球扔向軌道。令你震驚的是，你意識到這兩個球正在發生碰撞，但你的球似乎比他的球速度更快。另一方面，對於軌道旁的男孩來說，是你迅速地從他身邊經過，（因為你的動作因時間膨脹而變慢）看起來他的球比你的球速度更快。你們每個人都預測球會不對稱地反彈到對方。事實上發生的是，兩個球完美地反彈，男孩接住了他的球，而你的球落回了你的腿上！這一切都是因為

奇異的結果第 12 號
運動物體增加質量

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