相對論/質量膨脹的過山車之旅

質量膨脹

如果兩個質量相等為m的完全彈性物體以相等且相反的速度u相互靠近，它們將以相同但相反的速度相互反彈。這是能量守恆和動量守恆定律的直接結果。但是如果其中一個物體也以速度v穿過碰撞線運動呢？碰撞看起來像這樣

在牛頓動力學中，一個物體的側向運動無關緊要，也不會改變兩個球在垂直方向上的行為。即使v是光速的相當大的部分，在狹義相對論中也不應該這樣。問題在於我們考慮如何賦予物體側向速度u（假設遠小於v）。

從B的角度來看，推動球A側向的機制由於時間膨脹而執行緩慢，並且u_A似乎小於u_B，比例係數為 $\gamma$ 。自然，從A的角度來看，u_B似乎小於u_A。在所有其他因素相等的情況下，A和B將預測不同的結果。事實上，由於整個情況必須關於A和B對稱，我們知道實際發生的事情是球體以不變的速度相互反彈。

那麼解決方案是什麼？顯然，雖然兩個球的速度看起來不同，但球體的動量必須相同。現在，動量等於質量×速度，如果速度顯然降低了 $\gamma$ 的倍數，因為時間膨脹，質量必須增加 $\gamma$ 的倍數來補償。這種現象被稱為質量膨脹，適當的公式是

$M=\gamma M_{0}={M_{0} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

其中M₀是物體的靜止質量 - 即在靜止狀態下測量的質量。同樣，以相對論速度v運動的物體的動量p等於

$p=mv=\gamma M_{0}v$

這給了我們另一個解釋，說明為什麼1g火箭的速度永遠不會超過光速。從地球上觀察者的角度來看，火箭的速度越快，它的質量就越大。由於我們假設火箭的推力是恆定的，有效加速度（從飛船外部的靜止觀察者看來）必須越來越小。事實上，當我們在直線加速器中加速電子超過數百萬伏時，我們觀察到的正是這種情況。當它們的速度達到光速的99%時，額外的電壓不會讓它們更快，但它們確實會給電子傳遞額外的動量，當然還有能量。

好的，我接受質量會增加，並且靜止質量為M₀以速度v運動的粒子的動量是 $\gamma M_{0}v$ 。動能呢？我想是 ${\tfrac {1}{2}}\gamma M_{0}v^{2}$ 。對嗎？'

嗯，這是一個很好的猜測。在低速情況下， $\gamma$ = 1，因此公式簡化為 ${\tfrac {1}{2}}\gamma M_{0}v^{2}$ ，這是正確的，在高速情況下， $\gamma$ 趨於無窮大，因此動能也變得無窮大，這再次是正確的。然而，我擔心它仍然不太正確。正確答案是

$KE_{r}=M_{0}c^{2}(\gamma -1)$

其中KE_r是相對論動能。（有關此方程的證明，請參閱附錄F）

當將這兩個函式繪製在一起時，您可以看到它們之間的差異有多小

區分的重要性不在於產生的數值上的細微差異，而在於該方程對質量和能量本質的全新視角。

讓我們以以下方式重寫方程

$KE_{r}=M_{0}c^{2}(\gamma -1)$
$KE_{r}=\gamma M_{0}c^{2}-M_{0}c^{2}$
$KE_{r}=Mc^{2}-M_{0}c^{2}$
$Mc^{2}=M_{0}c^{2}+KE_{r}$

將一個方程以不同的方式改寫並不能證明任何東西，但它可以引發一些想法。讓我們給這些術語起一些有意義的名稱。

Mc² 是由總相對論質量M 形成的一種能量項。因此，將該項稱為運動物體的總相對論能量 E 似乎合乎情理。

類似地，由於M₀ 是物體的靜止質量，M₀c² 應該恰當地稱為物體的靜止質量能量 E₀。

這允許我們說以下內容：

總相對論能量 = 靜止質量能量 + 相對論動能

或者用符號表示：

$E=E_{0}+KE_{r}=\gamma M_{0}c^{2}$

愛因斯坦天才地發現，E = Mc² 和 E₀ = M₀c² 這兩個術語不僅僅是數學上的垃圾，它們實際上具有物理意義。靜止的物體確實在其內部蘊藏著巨大的能量。狹義相對論並沒有證明靜止質量具有能量，因為該理論所處理的任何過程都不可能釋放這種能量，但愛因斯坦推測，有一天可能發現這樣的過程，這種推測在他的一生中變成了現實。

所以我們現在得到了：

重大結論 13
所有有質量的物體都包含能量，根據著名的關係： $E=Mc^{2}$

這個方程的重要性無法誇大。它與萬有引力定律的發現、零是一個數字的概念、語言的發明以及火的發現一樣，都是人類歷史上的轉折點——作為 20 世紀成就的象徵，它無與倫比。

幾乎不需要說，由於光速非常大，一公斤物質的靜止質量能量非常大。實際上它等於 90,000,000,000,000,000 焦耳。普通人以大約 100 瓦的速度轉換能量，因此這種能量將使你存活約 2800 萬年！更現實地說，它相當於一座大型現代發電站在連續執行 2 年中的總能量輸出。

另一方面，太陽（其輸出功率高達 4 x 10²⁶ 瓦）每秒吞噬 400 萬噸物質！

請注意，這僅僅是已知宇宙中最具能量的天體——類星體——所吞噬物質的一小部分，類星體的能量輸出可能約為 10³⁹ 瓦，並且每秒吞噬相當於月球質量的物質！

難以置信！所以所有有質量的物體都具有能量，是嗎？

完全正確。但這僅僅是故事的一半。愛因斯坦的方程也能反過來，所有具有能量的物體也具有質量。我的意思是，一塊新電池的質量比一塊舊的沒電的電池更大，上緊的發條的質量比鬆散的發條更重，一杯熱茶的重量比一杯冷茶更大。而失去能量的東西會變得更輕：放熱化學反應的產物的總質量比反應物的總質量更小（在熱量散失後），兩個粘在一起的磁鐵的重量比兩個分開放置的磁鐵的重量更小，最重要的是，原子的質量明顯小於所有組成粒子的質量之和。

即使是光子，由於它們以光速傳播，因此靜止質量為零，它們也必須透過所含的能量具有（相對論）質量。不僅如此，它們還有動量，但在我們計算出動量之前，我們還需要陳述一個對所有物體在所有情況下都絕對成立的重要結論。它將物體的相對論能量E 與其動量p 聯絡起來，看起來像這樣：

重大結論 14
物體的總相對論能量 E 與其相對論動量 p 之間的關係可以用以下方程式表示： $E^{2}-p^{2}c^{2}=M_{0}^{2}c^{4}$

（您將在附錄 G 中找到簡單的證明）

正如我們之前提到的，這種關係對光子（其靜止質量為零，並且對它們而言，能量和動量的常用方程式是未定義的）特別重要。令M₀ = 0，我們得到：

重大結論 15
光子的總能量 E 與其動量之間的關係可以用以下方程式表示： $E=pc$

你說光子有動量是什麼意思？難道沒有質量的東西就不能有動量嗎？

嗯，是的，可以。如果你願意，可以把它看作是光子攜帶的能量質量的動量。可以肯定的是，光子的動量並不大。如果你將一個 1 瓦的雷射束（或一個普通的火炬）照射到一個黑色表面，那麼每秒鐘該表面吸收 E/c 個動量單位，即 3.3 x 10⁻⁹ 牛頓秒。由於動量的變化率等於力，因此雷射束對該表面施加了 3.3 納牛頓的力。這相當於一罐烤豆的重量的萬億分之一。並不多！

另一方面，地球上太陽輻射的能量密度約為 3000 瓦每平方米，因此對一面太陽帆衛星（其帆的尺寸為 30 米×30 米）的力將為 9 毫牛頓（9 x 10⁻³ 牛頓）。這聽起來也不多，但太陽對距離太陽相同距離的 1 公斤質量的重力僅為 6 毫牛頓（6 x 10⁻³ 牛頓）。

這意味著，如果你能製造一個足夠大（而且足夠輕）的反射“帆”，你就可以平衡重力與太陽風的力，並“免費”地在太陽系中航行！

光子具有動量的一個更重要的結論是，太陽本身是由所有這些試圖逃逸的光子產生的巨大壓力支撐的。當太陽核心中的核燃料耗盡時，光子壓力將消失，太陽內部將坍縮，導致一場巨大的爆炸，稱為超新星，它將吞噬地球並消滅地球上所有生命的痕跡。

聽起來不太好。我們還有多少時間？

別擔心。這要再過 40 億年才會發生！

第二個過山車

最後，過山車在車站裡猛地停了下來，你從車上跌跌撞撞地走了下來，你的腦海裡充滿了重要的原則和奇怪的結論。

好吧，我活下來了！你驚呼道，但是我的頭暈乎乎的！

然而，我恐怕我們還沒有完全結束。我輕輕地扶著你，把你帶到一個拐角處，我們停在一個巨大的門戶前，門戶上用可怕的字母寫著一個字：遺忘。

這是什麼？你問道。

這是另一個過山車。

我的天哪！它和另一個一樣糟糕嗎？

嗯，其實沒那麼糟糕——但我不得不承認它有點作弊。還有另一個過山車，它的旅程非常顛簸，幾乎沒有人能忍受，但這個過山車是專門設計來讓你體驗真實過山車的感覺的。你準備好了嗎？

我想是的。但為什麼它叫作“遺忘”？

等著瞧吧！但首先，在我們排隊等候的時候，我必須告訴你愛因斯坦的第二個偉大思想。狹義相對論的基本原理（愛因斯坦的第一個偉大思想）涉及勻速運動的觀察者。第二個基本原理（廣義相對論的基礎）涉及加速運動的觀察者。這就是它。

廣義相對論的基本原理
在勻加速參考系中，物理定律與在重力場中的物理定律相同。

或者，換句話說

不可能在一個封閉的實驗室裡進行任何實驗來確定實驗室是在勻加速還是位於一個均勻的重力場中。

這太荒謬了。你一定可以隨時判斷是否有重力。你只需要做的是扔下東西。如果它掉下來——就說明有重力！

並非如此。假設你在深空中，正在前往一顆遙遠的恆星。你可能在移動，也可能靜止不動，這並不重要。重要的是附近沒有恆星或行星，所以沒有重力。你剛剛讀完你最喜歡的書——《銀河系漫遊指南》——的一章，按照你的習慣，你把它放在你面前，由於飛船內部的失重狀態，它乖乖地漂浮著。突然，它掉到飛船的後面，加速著。同時你感覺到自己的身體被壓在躺著的沙發上。你會怎麼想？你是否突然到達了目的地，那裡重力又恢復正常了？這可能吧。但更可能是飛船的船長啟動了火箭發動機，你與火箭一起加速了。書本不是因為重力而掉落的。實際上，它根本沒有真正掉落。它只是停留在那裡，火箭向前加速，追上了它。同樣，你也不是因為重力的作用而被壓到沙發上的，不，只是火箭發動機的推力，透過沙發傳遞給你，讓你和火箭一起向前加速。

因此，加速的效果看起來，表面上，與重力的效果一樣。但真的是這樣嗎？有沒有辦法區分它們？為了回答這個問題，我們必須仔細看看我們對“質量”的定義。

你是否曾經發現兩個不同質量的物體在重力場中以相同的加速度下降是件很奇怪的事情？如果沒有，那麼你一定是非常聰明或者根本沒有想過這個問題。畢竟，偉大的希臘科學家和哲學家亞里士多德認為，重的物體比輕的物體下落速度快，這是一個不言自明的真理，他在長達兩千多年的時間裡一直佔據著知識界的主流意見。伽利略是第一個發現亞里士多德理論中邏輯矛盾的人。他的論證是這樣的。

“根據亞里士多德的說法，一塊石頭會比一塊輕石頭下落速度快兩倍。現在，如果你把一塊石頭綁在另一塊輕石頭上，重的石頭會把輕的石頭拉得更快，而輕的石頭會阻止重的石頭移動得那麼快。因此，組合後的石頭會以一種介於兩者單獨下落速度之間的速度下落。但等等——如果你把一塊輕石頭綁在一塊石頭上，你肯定會得到一塊比兩者都重的石頭，因此，根據這個理論，它應該比兩者下落速度更快？這裡存在矛盾，因此最初的前提是錯誤的。”

五十年後，艾薩克·牛頓透過提出一個基於兩個核心思想的精彩力學理論，為伽利略的理論提供了佐證——力的概念和質量的概念。這兩個概念在中心關係中結合在一起

$F=ma$

原則上，你可以透過對物體施加一個標準力（例如使用“標準”煙花）並測量其加速度來測量物體的質量。

質量越大，其慣性就越大，因此加速度就越小。以這種方式測量的質量應該被稱為慣性質量。

但牛頓並沒有止步於解釋所有動力學定律。像他之後的愛因斯坦一樣，他也繼續使用相同的“力”和“質量”基本概念來解釋萬有引力定律。他的第二個偉大思想是：在兩個（小的）質量 M 和 m 之間，相隔距離為 r，存在一個吸引力 F，它與質量的乘積成正比，與距離的平方成反比。用符號表示

$F=G{Mm \over r^{2}}$

其中 G 是一個常數，等於 6.67 x 10⁻¹1 kg⁻¹m³s⁻²。這個方程為我們提供了一種替代的、完全獨立的測量質量的方法。我們所要做的就是測量一個標準重力場中的質量上的重力（例如，把它掛在一個標準彈簧上）。（例如地球的重力場。）

以這種方式測量的質量應該被稱為引力質量。

按理說（雖然這並不明顯也不一定正確），如果你把兩個相同的物體綁在一起，你會使慣性質量和引力質量都增加一倍——而伽利略的論證的核心正是基於這一假設。重的石頭受到的重力是輕石頭的兩倍——但它也需要兩倍的力才能產生相同的加速度！

雖然按理說，兩個具有相同慣性質量的相同物體將具有相同的引力質量，但牛頓理論中絕對沒有任何東西可以阻止兩個具有相同慣性質量但由不同材料製成的物體具有不同的引力質量。例如，可以想象，像鉛或金這樣的緻密材料的重量會比其慣性質量所暗示的要重（或輕）。

太神奇了！也許存在我們不知道的物質，它們具有慣性質量，但卻沒有重量！

就牛頓的理論而言，這當然有可能，但我們迄今為止獲得的所有證據都強烈表明，無論物體是由什麼物質構成的，慣性質量和引力質量都完全相同。即使存在微小的差異，我們也會立即注意到。例如，這意味著巨型氣態行星繞太陽執行的速度會與較小的岩石行星不同（當然，除了正常的差異之外）；這意味著鋁製衛星的軌道週期將不同於發射它的鈦合金太空梭的軌道週期；這意味著地球繞太陽執行的軌道將不同於其自身的海洋，因此海洋將自行飛入太空！很明顯，這些情況都沒有發生。

因此，有充分的證據表明，慣性質量與引力質量的比率對於所有材料，在任何地方都是相同的。但是為什麼？根據牛頓的理論，沒有為什麼——它們就是。但根據愛因斯坦的理論，有一個非常好的理由：它就是廣義相對論的基本原理——在勻加速參考系中，物理定律與在均勻重力場中的物理定律相同。

因此，正如狹義相對論的基本原理解釋了光速的恆定性，廣義相對論的基本原理解釋了所有物體在重力場中以相同的加速度下落這一現象。我們可以將這一結論總結如下

令人放心的正常結果第 16 條
慣性質量和引力質量是同一個東西。

但是，你不可能花那麼多錢給過山車公司，只是為了發現令人放心的正常結果，所以現在我們已經到達了第一個山頂，準備出發了，這裡還有下一個奇怪的結果

奇怪的結果第 17 條
重力會彎曲光線。

太荒謬了。光線不能彎曲。我也可以告訴你為什麼！當我們說“光線沿直線傳播”時，我們並不是在陳述一個實驗事實；光線的傳播方式定義了我們對直線的理解！

嗯……是的……你說的有道理……

但我還沒來得及想出一個合適的回答，過山車的卡扣突然鬆開了，我們便自由落體地墜入一個巨大的黑洞。

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