穿越相對論的過山車之旅/附錄 F

相對論動能

假設一個靜止質量為M₀的物體被一個恆力F從靜止加速t時間。

在牛頓力學中，物體的加速度a將為

$a={f \over M_{0}}$

物體移動的距離s將為

$s={\tfrac {1}{2}}at^{2}={FT^{2} \over 2M_{0}}$

最終達到的速度將為

$v=at={Ft \over M_{0}}$

由此得出

$Ft=M_{0}v$

現在物體獲得的動能KE將等於力所做的功，這當然是力 × 距離或Fs。因此

$KE=Fs={F^{2}t^{2} \over 2M_{0}}={M_{0}^{2}v^{2} \over 2M_{0}}$
$KE={\tfrac {1}{2}}M_{0}v^{2}$

現在為了使用狹義相對論進行同樣的分析，我們需要使用在恆速加速火箭分析中獲得的結果，即

$s={c^{2} \over a}\left(\cosh {at \over c}-1\right)$

和

$v=c\tanh {a \over c}t$

我們需要做的是從這兩個方程中消除t，這可以使用以下標準關係來完成

${1 \over \cosh ^{2}\theta }+\tanh ^{2}\theta =1$

代數有點亂，但並不難，簡化為

$as={c^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-c^{2}=c^{2}(\gamma -1)$

現在我們需要仔細思考我們發現了什麼。這個方程為我們提供了對於一個以a恆定加速度運動的火箭，其最終達到的速度和移動距離之間的關係。但這是從誰的角度來看的？是火箭上的人還是留在原地的人？

嗯，關於速度v沒有問題。正如我們所看到的，兩位觀察者都同意任何物體的相對速度。但無論如何，我們談論的是靜止觀察者所看到的速度。

距離s也是靜止觀察者所看到的移動距離（記住，這是實際移動到恆星的距離，而不是長度收縮後的距離）。

加速度a呢？這是火箭上的乘員所經歷的加速度。你會記得，火箭被假定以這樣的方式加速，即火箭上的乘員經歷恆定的“人造重力”。就宇航員而言，火箭發動機產生恆定的推力F，火箭具有恆定的質量M₀，因此我們仍然可以假設

$a={F \over M_{0}}$

因此

$Fs=c^{2}(\gamma -1)$

通常我們會簡單地寫成

$KE_{r}=Fs$

但這需要一些解釋。你看，s 是靜止觀察者所看到的運動距離，而 F 是宇航員測量的推力，將這兩個量相乘並不明顯。

假設我們不是用火箭發動機加速火箭，而是用（靜止的）電場 E 加速電子。

問題是：電子感受到的力是否與加速器作用於電子的力相同？從某種意義上說，這個問題沒有答案，因為它取決於你對力的定義。我們實際上是在構建一個與牛頓定義儘可能接近的相對論力定義。我們希望我們的相對論力所做的一件事是服從牛頓第三定律，該定律可以表述為作用力與反作用力大小相等，方向相反；因此，如果我們假設這是真的，我們可以繼續完成證明。也就是說

$KE_{r}=M_{0}c^{2}(\gamma -1)$

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