相對論之旅/附錄 G

能量與動量之間的關係

物體的總相對論能量E和相對論動量p由以下表達式給出

$E=\gamma M_{0}c^{2}={M_{0}c^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$
$p=\gamma M_{0}v={M_{0}v \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

我們希望從這些方程中消除v。首先平方並交叉相乘

$E^{2}(1-v^{2}/c^{2})=M_{0}^{2}c^{4}$
$p^{2}(1-v^{2}/c^{2})=M_{0}^{2}v^{2}$

現在，為了一個狡猾的策略，將第二個方程乘以c²然後減去！

$(E^{2}-p^{2}c^{2})(1-v^{2}/c^{2})=m_{0}^{2}c^{4}(1-v^{2}/c^{2})$

由此我們得到

$E^{2}-p^{2}c^{2}=M_{0}^{2}c^{4}$

寫這個方程的另一種（在我看來更好的）方法是

$E^{2}-E_{0}^{2}=p^{2}c^{2}$

其中E₀是物體的靜止質量能。

將這個表示式與非相對論能量和動量之間的關係進行比較是有益的，它可以透過以下方式計算

$KE={\tfrac {1}{2}}Mv^{2}~~~{\text{and}}~~~p=Mv$

所以

$KE={p^{2} \over 2M}$

起初很難看出來相對論表示式在v很小時是如何簡化為非相對論表示式的（它必須這樣），但事實的確如此。請看！

因為

$E^{2}-E_{0}^{2}=p^{2}c^{2}$

我們可以寫成

$(E-E_{0})(E+E_{0})=p^{2}c^{2}$

現在 (E - E0) 只是相對論動能KE_r，它在低速下近似於普通動能KE。

在低速下，總相對論能量E和靜止質量能E₀幾乎相等，都等於Mc²，所以

$KE~.~2Mc^{2}=p^{2}c^{2}$

由此很容易看出

$KE={p^{2} \over 2M}$

正如預期的那樣。