相對論之旅/附錄 C

遙遠恆星上的時間

你如何同步兩個靜止但位置不同的時鐘？

一種方法是

• 測量時鐘之間的距離 d
• 將時鐘 A 設定為零（但不要啟動它）
• 將時鐘 B 設定為讀數 d/c（但同樣不要啟動它）
• 啟動時鐘 A 並同時向時鍾 B 傳送一個光脈衝
• 當光脈衝到達 B 時，啟動時鐘 B

同步兩個時鐘

現在這兩個時鐘將被同步，至少對於相對於這兩個時鐘靜止的觀察者來說是如此。但是，如果我觀察你以速度 v（從 B 到 A 的方向）駛過我時同步一對時鐘，我會對你的計算有兩種不同的意見。首先，時鐘之間的距離將縮短一個因子 γ。其次，當光束以我看來是恆定的速度 c 從 A 傳播到 B 時，B 將以速度 v 向光束移動。對我來說，光束將以 c + v 的相對速度趕上時鐘，因此光束從 A 到 B 的時間將是

$T={{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}~d \over c+v}$

這可以重新排列並簡化為

$T={l \over c}{{\sqrt {c^{2}-v^{2}}} \over c+v}$
$T={l \over c}{\sqrt {(c+v)(c-v) \over (c+v)(c+v)}}$
$T={l \over c}{\sqrt {c-v \over c+v}}$

這意味著，雖然你將時鐘 B 設定為讀數 l/c，但我認為你應該將它設定為上面的 較小 的時間。換句話說，在我看來，你面前所有假定的同步時鐘都落後於真即時間，而你後面的所有時鐘都領先於真即時間。

現在，兩個時間之間的 差值 等於

$\Delta T={l \over c}-{l \over c}{\sqrt {c-v \over c+v}}$

如果我們假設 v 遠小於 c，我們可以將此公式大大簡化。首先，我們將公式改寫如下

$\Delta T={l \over c}(1-(1-v/c)^{1/2}(1+v/c)^{1/2})$

因此，使用二項式定理，我們得到

$\Delta T={lv \over c^{2}}$

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