穿越相對論的過山車之旅/附錄 B

長度收縮

在河流比賽的背景下，如果我們看到阿爾伯特和貝婭特里斯在完全相同的時間到達終點，並且知道 *貝婭特里斯的划船速度不能快於阿爾伯特*，那麼我們必須得出結論，貝婭特里斯的划船距離更短。

短多少呢？假設阿爾伯特劃了l_A的距離，貝婭特里斯劃了l_B的距離。

${\text{Time for Albert to finish}}={2l_{A} \over {\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$
${\text{Time for Beatrice to finish}}={l_{B} \over c-v}+{l_{B} \over c+v}={2l_{B}c \over c^{2}-v^{2}}$

現在這些必須相等，因此

${2l_{A} \over {\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={2l_{B}c \over c^{2}-v^{2}}$

由此得到

$l_{B}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,l_{A}$

這意味著，從靜止觀察者的角度來看，一根 *固有長度* 為l₀ 的杆（即在靜止時長度為l₀）的長度l 將由以下公式給出：

$l={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,l_{0}=l_{0}/\gamma$

當它以速度v沿其長度方向運動時。（它在垂直於運動方向的任何方向上都會始終顯示為具有相同的長度l₀。）